Chapitre 1 — Statistiques
Économie & Gestion, 3ème année — Manuel CNP
- I. Série statistique simple — résumé (moyenne, médiane, variance, écart type, quartiles, boîte de dispersion) et comparaison de séries.
- II. Série statistique double — nuage de points, point moyen, distributions et fréquences marginales.
- Utilisation des TIC — un vrai tableur (le même principe qu’Excel).
- Exercices et problèmes, Math culture.
Chaque activité est suivie d’un tableur GeoGebra interactif (les données sont déjà saisies ; complétez les cellules de calcul indiquées, comme sur un vrai tableur — formules =Moyenne(...), =EcartType(...), etc.) et d’un bloc Correction repliable.
1 Pour commencer
Activité 1 (QCM)
Une série de notes de dix élèves d’une classe est donnée dans le tableau suivant.
| \(x_i\) | 2 | 8 | 9 | 10 | 19 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(n_i\) | 3 | 1 | 4 | 1 | 1 |
- Un élève a obtenu 8. Cette note est supérieure a/ au mode b/ à la médiane c/ à la moyenne.
- Sur 1000 candidats à un concours, 500 ont été reçus. La moyenne des notes obtenues est 9,437 et la médiane 9,241. Si un candidat a été admis, alors il a obtenu une note a/ supérieure à 10 b/ supérieure à 9,437 c/ supérieure à 9,241.
Les données (\(x_i\) et \(n_i\)) sont déjà saisies dans le tableur ci-dessous (colonnes A et B). Complétez la colonne D en face de chaque étiquette :
- en D1, l’effectif total :
=Sum(B2:B6); - en D2, la moyenne pondérée :
=Mean(A2:A6,B2:B6).
Le mode se lit directement dans la colonne ni (la plus grande valeur, sans calcul). Pour la médiane, utilisez l’outil de tri (sélectionnez A2:B6 puis l’icône de tri) ou la formule =Median(A2:A6,B2:B6) en D3.
- Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{2\times3+8\times1+9\times4+10\times1+19\times1}{10} = \dfrac{79}{10} = 7{,}9\).
- Liste triée (10 notes) : 2, 2, 2, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 19.
- Médiane : \(n=10\) est pair, \(M_e = \dfrac{x_5+x_6}{2} = \dfrac{9+9}{2} = 9\).
- Mode : la valeur la plus fréquente est \(9\) (effectif 4).
- La note 8 est donc supérieure à la moyenne (7,9) mais pas au mode ni à la médiane (tous deux égaux à 9). → réponse c.
- Les 500 admis sont ceux dont la note fait partie de la moitié supérieure : le seuil qui sépare exactement la population en deux est la médiane, pas la moyenne. → réponse c (supérieure à 9,241).
Activité 2 (Vrai ou faux)
- Dites, en justifiant vos réponses, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
- a/ Dans toute série statistique, la moyenne est comprise entre la valeur minimale et la valeur maximale.
- b/ Dans toute série statistique, l’écart type est toujours inférieur à la variance.
- c/ Si l’on ajoute un même réel \(k\) positif à toutes les valeurs, alors l’intervalle interquartile est augmenté de \(k\).
- Onze élèves ont passé un test : moyenne 10,5 ; médiane 9 ; étendue 12. Dire, si possible, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses : cinq élèves ont plus de 9 ; cinq élèves ont moins de 10,5 ; il y a 15 points d’écart entre la note la plus haute et la plus basse ; le groupe est hétérogène.
Données du test (question 2) : \(n=11\) élèves, moyenne \(=10{,}5\), médiane \(=9\), étendue \(=12\).
Indice : la médiane partage la série en deux groupes de rangs 1 à 5 et 7 à 11 (le 6ᵉ élève, au rang du milieu, a la note “médiane”) — une note peut-elle être égale à la médiane sans être strictement au-dessus ? L’étendue est-elle bien note_max \(-\) note_min \(=15\), ou une autre valeur ?
1. a/ Vrai. La moyenne est une somme pondérée des valeurs : elle ne peut jamais dépasser la plus grande valeur ni être inférieure à la plus petite.
1. b/ Faux, en général. L’écart type est \(\sqrt{\text{variance}}\). Si la variance est supérieure à 1, l’écart type est plus petit qu’elle (ex. variance \(=16\), écart type \(=4\)) ; mais si la variance est inférieure à 1, c’est l’inverse (ex. variance \(=0{,}25\), écart type \(=0{,}5 > 0{,}25\)). L’affirmation n’est donc pas toujours vraie.
1. c/ Vrai, avec précision. Ajouter \(k\) à toutes les valeurs déplace chaque quartile de \(k\) : le nouvel intervalle est \([Q_1+k\,;\,Q_3+k]\). En revanche, la largeur de cet intervalle — l’écart interquartile \(Q_3-Q_1\) — ne change pas.
2. Avec \(n=11\) (impair), la médiane est la valeur du 6ᵉ élève une fois la série triée : il y a donc bien 5 élèves de rang inférieur et 5 de rang supérieur au 6ᵉ, mais rien n’empêche plusieurs élèves d’avoir exactement la note médiane (9). On ne peut donc pas affirmer avec certitude que “cinq élèves ont plus de 9” (indéterminé). De même, la moyenne n’est pas une statistique de rang : elle ne permet pas de savoir combien d’élèves sont en dessous d’elle (indéterminé). En revanche, l’énoncé donne l’étendue \(=12\), donc l’écart entre la note la plus haute et la plus basse vaut 12, pas 15 : l’affirmation est fausse. Quant à l’hétérogénéité du groupe, on ne peut pas la déduire avec certitude de ces seuls indicateurs (indéterminé, même si une étendue de 12 sur une échelle de notes suggère une certaine dispersion).
Activité 3
| valeur | 6 | 7,5 | 8 | 8,5 | 9 | \(x\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| effectif | 2 | 3 | 4 | 1 | 1 | \(y\) |
- Déterminer \(y\) pour que la médiane soit égale à 8.
- Si \(y = 2\), calculer \(x\) pour que la moyenne de cette série soit égale à 8.
La partie connue de la série (sans \(x\) ni \(y\)) est saisie dans le tableur. Complétez :
- en D1, l’effectif connu :
=Sum(B2:B6); - en D2, la somme connue (sans \(x\times y\)) :
=Sum(A2:A6*B2:B6).
Indice : 1) \(x\) est supposé supérieur à 9 (il est placé après 9 dans le tableau) — pour quelles valeurs de \(y\) (entier \(\geq 0\)) la médiane de la série complète (effectif total D1 \(+\,y\)) reste-t-elle égale à 8 ? 2) Avec \(y=2\) : moyenne \(=\dfrac{\text{D2}+2x}{\text{D1}+2}=8\) — isolez \(x\).
Effectifs cumulés (sans \(x\)) : 6→2, 7,5→5, 8→9, 8,5→10, 9→11 (pour 11 valeurs). La valeur 8 occupe donc les rangs 6 à 9.
1. En ajoutant \(y\) valeurs \(x\) (avec \(x>9\)) à la fin de la série, l’effectif total devient \(n = 11+y\). La médiane reste égale à 8 tant que le ou les rangs du milieu restent compris entre 6 et 9. En étudiant les deux cas (\(n\) pair ou impair), on trouve que cela reste vrai pour \(y \in \{0,1,2,3,4,5,6\}\) — au-delà (par exemple \(y=7\)), le rang médian sort de la zone occupée par la valeur 8.
2. Avec \(y=2\), l’effectif total est \(11+2=13\). \[\text{somme} = 6\times2+7{,}5\times3+8\times4+8{,}5\times1+9\times1 = 84\] \[\text{moyenne} = \frac{84+2x}{13} = 8 \;\Longrightarrow\; 84+2x = 104 \;\Longrightarrow\; x = 10\] On vérifie que \(x=10>9\), cohérent avec sa position dans le tableau.
Activité 4
- Dans une classe de 10 garçons et 20 filles, la taille moyenne des garçons est 1,7 m et celle des filles 1,61 m. Quelle est la taille moyenne de la classe ?
- Dans une autre classe de 28 élèves, la taille moyenne des garçons est 1,68 m, celle des filles 1,60 m et celle des 28 élèves 1,66 m. Combien y a-t-il de garçons et de filles ?
Question 1. Les effectifs et moyennes de chaque groupe sont saisis dans le tableur. Complétez D2 avec la moyenne pondérée de la classe : =Mean(B2:B3,A2:A3).
Question 2. Notez \(g\) le nombre de garçons ; le nombre de filles est \(28-g\). Écrivez l’équation \(1{,}68\,g + 1{,}60\,(28-g) = 1{,}66\times28\) et résolvez-la à la main. Puis, dans le tableur, remplacez le 0 en B1 par votre valeur de \(g\) : la moyenne de vérification en B3 se recalcule automatiquement — ajustez \(g\) jusqu’à obtenir \(1{,}66\).
1. \(\bar{x} = \dfrac{10\times1{,}7 + 20\times1{,}61}{30} = \dfrac{17+32{,}2}{30} = \dfrac{49{,}2}{30} = 1{,}64\) m.
2. Soit \(g\) le nombre de garçons ; il y a \(28-g\) filles. \[1{,}68\,g + 1{,}60\,(28-g) = 1{,}66 \times 28 = 46{,}48\] \[1{,}68g + 44{,}8 - 1{,}60g = 46{,}48 \;\Longrightarrow\; 0{,}08g = 1{,}68 \;\Longrightarrow\; g = 21\] Il y a donc 21 garçons et 7 filles.
Activité 5
\(x_i\): 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 19 avec \(n_i\): 1,1,1,3,1,1,3,2,3,1,2,1,1.
- Déterminer la médiane, la moyenne et l’étendue de cette série.
- Changer des données pour avoir une médiane égale à 10 sans changer ni la moyenne ni l’étendue de la série.
Les données sont saisies dans le tableur (colonnes A et B). Complétez :
- E1 — effectif total :
=Sum(B2:B14); - E2 — moyenne :
=Mean(A2:A14,B2:B14); - E3 — médiane :
=Median(A2:A14,B2:B14); - E4 — étendue :
=Max(A2:A14)-Min(A2:A14).
1. \(n = 21\) (impair) : la médiane est la valeur de rang \(\frac{21+1}{2}=11\). Effectifs cumulés : 2→1, 3→2, 5→3, 6→6, 7→7, 8→8, 9→11. La valeur de rang 11 est donc \(M_e = 9\). \[\bar{x} = \frac{2+3+5+18+7+8+27+20+36+15+32+18+19}{21} = \frac{210}{21} = 10\] Étendue \(= 19-2 = 17\).
2. Il existe plusieurs solutions. Une façon simple : transformer une des trois valeurs 9 en 10 (le rang médian tombe alors dans le groupe des 10, donc \(M_e\) devient 10), puis compenser en transformant une des trois valeurs 12 en 11 (on retire 1 et on ajoute 1 à la somme : la moyenne ne change pas). Nouvelle série : \(x_i\): 2,3,5,6,7,8,9,10,11,12,15,16,18,19 avec \(n_i\): 1,1,1,3,1,1,2,3,1,2,1,2,1,1 (min et max inchangés, donc l’étendue reste 17).
Activité 6
Dans une classe, la moyenne des notes d’un devoir est 10,5 et la médiane est 12.
- On enlève la note la plus basse (3) et la plus haute (18), chacune obtenue par un seul élève. Que deviennent la moyenne et la médiane ?
- On enlève seulement la note la plus haute, la moyenne devient alors 10,2. Quel est le nombre d’élèves de la classe ?
Question 2 d’abord : si \(n\) est le nombre d’élèves, \(n\times10{,}5-18=(n-1)\times10{,}2\). Isolez \(n\) à la main, puis remplacez le 0 en B1 ci-dessous par votre réponse — B2 recalcule automatiquement la moyenne obtenue sans la note maximale pour vérifier.
Question 1 : une fois \(n\) connu, calculez la somme totale (\(n\times 10{,}5\)), puis la nouvelle moyenne après avoir retiré la note minimale et la note maximale.
2. Soit \(n\) le nombre d’élèves. La somme totale vaut \(n \times 10{,}5\). En retirant uniquement la note la plus haute (18), il reste \(n-1\) élèves dont la moyenne est 10,2 : \[n\times10{,}5 - 18 = (n-1)\times10{,}2 \;\Longrightarrow\; 0{,}3n = 7{,}8 \;\Longrightarrow\; n = 26\]
1. Somme totale \(=26\times10{,}5=273\). En retirant 3 et 18 : nouvelle somme \(=273-3-18=252\), nouvel effectif \(=24\), donc nouvelle moyenne \(=\dfrac{252}{24}=10{,}5\) : elle ne change pas (propriété du problème : \(3+18=21=2\times10{,}5\), la moyenne des deux valeurs retirées est justement égale à la moyenne globale). Pour la médiane : avec \(n=26\) (pair), \(M_e\) est la moyenne des rangs 13 et 14. En retirant le minimum et le maximum (un de chaque côté), le rang 13 devient le nouveau rang 12 et le rang 14 le nouveau rang 13 : la médiane reste donc 12 elle aussi. (Résultat général : retirer une seule valeur minimale et une seule valeur maximale d’une série ne change jamais sa médiane.)
2 Cours
2.1 I. Série statistique simple
2.1.1 1°) Résumé d’une série statistique simple
Activité 1
Répartition de 100 ménages selon leurs dépenses mensuelles :
| classe de dépense (dinars) | nombre de ménages |
|---|---|
| [100,200[ | 15 |
| [200,300[ | 20 |
| [300,400[ | 30 |
| [400,500[ | 20 |
| [500,600[ | 15 |
- Calculer la médiane et la moyenne de cette série.
- Calculer la variance et l’écart type de cette série.
Complétez le calcul de la moyenne (remplacez le tiret par la bonne formule), puis cliquez sur Run Code.
La moyenne pondérée s’écrit \(\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}\), donc ici somme / n.
moyenne = somme / nOn trouve \(\bar{x} = 350\) dinars.
Complétez maintenant vous-même la variance et l’écart type (question 2) :
Médiane : effectifs cumulés 15, 35, 65, 85, 100 → le rang \(\frac{100}{2}=50\) tombe dans la classe [300,400[ (cumulé avant \(=35\)) : par interpolation \(M_e = 300 + \dfrac{50-35}{30}\times100 = 350\).
Moyenne \(\bar{x} = \dfrac{150\times15+250\times20+350\times30+450\times20+550\times15}{100}=\dfrac{35\,000}{100}=350\).
Variance \(=\dfrac{15(150-350)^2+20(250-350)^2+30(350-350)^2+20(450-350)^2+15(550-350)^2}{100}=\dfrac{1\,600\,000}{100}=16\,000\).
Écart type \(=\sqrt{16\,000}\approx126{,}5\) dinars.
Le résumé d’une série statistique peut être visuel (représentation graphique) ou numérique (calcul de paramètres : moyenne, médiane, variance, écart type, quartiles).
Activité 2
Une machine fabrique une pièce dont le diamètre doit être 5 cm. Sur un échantillon de 40 pièces :
4,9 5 5,2 4,7 4,8 5,1 4,5 5,2 4,9 4,8
4,9 4,9 4,9 5,3 5,3 4,8 4,8 4,9 5,1 4,8
5,4 4,9 4,9 5 4,8 4,8 5,3 4,8 5,1 5
5,1 4,8 4,7 5 4,9 4,8 4,6 4,7 4,9 4,7- La moyenne doit appartenir à \([4{,}88\,;5{,}12]\) pour que la machine soit bien réglée. Est-ce le cas ?
- L’écart type doit être dans \([0{,}13\,;0{,}25]\). Est-ce le cas ?
- Quelle décision prendre : régler la machine ou poursuivre la production ?
Sur les 40 mesures : \(\bar{x} \approx 4{,}925\) cm et \(\sigma \approx 0{,}20\) cm.
- \(4{,}925 \in [4{,}88\,;5{,}12]\) : oui, la moyenne est correcte.
- \(0{,}20 \in [0{,}13\,;0{,}25]\) : oui, l’écart type est correct aussi.
- Les deux critères sont respectés : on peut poursuivre la production sans régler la machine.
Activité 3
Diamètres (mm) de billes d’acier :
| diamètre | [48;49[ | [49;50[ | [50;51[ | [51;52[ | [52;53[ | [53;54[ | [54;55[ | [55;56[ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| fréquence | 4% | 16% | 24% | 22% | 18% | 10% | 4% | 2% |
- Déterminer les fréquences cumulées croissantes.
- Représenter le polygone des fréquences cumulées croissantes.
- Estimer graphiquement la médiane \(M_e\), puis calculer \(\bar{X}\) et \(\sigma\).
- Fréquences cumulées croissantes : 4, 20, 44, 66, 84, 94, 98, 100 (%).
- Le polygone relie les points (borne supérieure de classe ; fréquence cumulée) : (49,4), (50,20), (51,44), (52,66), (53,84), (54,94), (55,98), (56,100).
- Graphiquement, \(M_e\) est l’abscisse du point du polygone à ordonnée 50 % : elle se situe dans la classe [51;52[ (cumul passant de 44% à 66%), autour de \(M_e \approx 51{,}3\). Par le calcul (avec les centres de classe) : \(\bar{X}\approx51{,}4\) mm et \(\sigma\approx1{,}58\) mm.
Activité 4
| chiffre d’affaires | effectif |
|---|---|
| [100;150[ | 4 |
| [150;200[ | 5 |
| [200;250[ | 6 |
| [250;300[ | 7 |
| [300;350[ | 10 |
| [350;400[ | 8 |
| [400;450[ | 6 |
| [450;500[ | 4 |
Vérifier que \(Q_1 \in [200;250[\), puis calculer une valeur approchée de \(Q_1\), \(M_e\) et \(Q_3\) en utilisant l’hypothèse de répartition uniforme dans la classe : \(\dfrac{Q_1-200}{12{,}5-9}=\dfrac{250-200}{15-9}\).
Effectifs cumulés : 4, 9, 15, 22, 32, 40, 46, 50 (\(n=50\)).
Rangs : \(Q_1=\frac{50}{4}=12{,}5\) (dans [200;250[, cumul 9→15) ; \(M_e=\frac{50}{2}=25\) (dans [300;350[, cumul 22→32) ; \(Q_3=\frac{3\times50}{4}=37{,}5\) (dans [350;400[, cumul 32→40).
\[Q_1 = 200 + \frac{12{,}5-9}{15-9}\times(250-200) \approx 229{,}2\] \[M_e = 300 + \frac{25-22}{32-22}\times(350-300) = 315\] \[Q_3 = 350 + \frac{37{,}5-32}{40-32}\times(400-350) \approx 384{,}4\]
Activité 5 — la boîte de dispersion
Taux d’hémoglobine (g/L) de 60 adultes :
105 110 112 112 118 119 120 120 125 126 127 128 130 132 133
134 135 138 138 138 138 141 142 144 145 146 148 148 148 149
150 150 150 151 151 153 153 153 154 154 154 156 156 156 158
160 160 160 163 164 164 165 166 168 168 170 172 172 176 179D’après le cours : minimum 105, maximum 179, \(Q_1=133\), médiane \(M_e=149{,}5\), \(Q_3=158\).
Soit \(n\) l’effectif d’une série rangée par ordre croissant \(x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n\).
- Si \(n\) est multiple de 4, \(Q_1\) (resp. \(Q_3\)) est la valeur du caractère de rang \(\dfrac{n}{4}\) (resp. \(\dfrac{3n}{4}\)).
- Sinon, \(Q_1\) (resp. \(Q_3\)) est la valeur du caractère dont le rang est immédiatement supérieur à \(\dfrac{n}{4}\) (resp. \(\dfrac{3n}{4}\)).
Vérifiez ces trois valeurs par le calcul (les rangs Python commencent à 0, pensez à décaler d’une unité) :
En Python, le premier élément d’une liste a l’indice 0. La valeur de “rang \(r\)” est donc taux[r - 1].
La boîte de dispersion (ou diagramme en boîte) représente à la fois un résumé visuel et numérique d’une série statistique. Vérifions-la sur les données ci-dessus :
\(n=60\) est multiple de 4, donc \(Q_1\) a le rang \(\frac{60}{4}=15\) et \(Q_3\) le rang \(\frac{3\times60}{4}=45\). Dans la liste triée, la 15ᵉ valeur est 133 et la 45ᵉ vaut 158 : on retrouve bien \(Q_1=133\) et \(Q_3=158\). Comme \(n\) est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rangs 30 et 31 : \(M_e=\dfrac{149+150}{2}=149{,}5\).
- La dispersion est plus étalée à gauche de la médiane sur cet exemple.
- On résume souvent une série par le couple (moyenne, écart type) — sensible aux valeurs extrêmes — ou par le couple (médiane, écart interquartile) — moins sensible, mais un peu plus délicat à calculer.
Activité 6 Un diagramme en boîte est fourni (voir manuel, p. 10) sur un axe gradué de 5 à 45.
- Donner min, max, médiane, \(Q_1\), \(Q_3\).
- Calculer l’écart interquartile, puis compléter : « Au moins …% des valeurs sont ≤ 15 », « Au moins …% des valeurs sont ≤ 35 ».
Cette activité s’appuie sur la lecture d’un diagramme imprimé dans le manuel (non reproduit ici). La méthode reste la même que pour l’Activité 5 : lire directement min, \(Q_1\), \(M_e\), \(Q_3\), max sur les bornes de la boîte et des moustaches, puis calculer l’écart interquartile \(Q_3-Q_1\). Par définition des quartiles, au moins 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à \(Q_1\), et au moins 75 % sont inférieures ou égales à \(Q_3\) : reportez les bornes lues (15 et 35 sur l’axe) à la place de \(Q_1\) et \(Q_3\) pour compléter les phrases.
Activité 7
| prime (dinars) | [125;175[ | [175;225[ | [225;275[ | [275;325[ | [325;375[ | [375;425[ | [425;475[ | [475;525[ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| nombre d’employés | 130 | 350 | 210 | 130 | 90 | 50 | 30 | 10 |
Étendue, prime moyenne, quartiles, médiane, puis représenter la boîte de dispersion.
\(n=1000\), étendue \(=525-125=400\). \[\text{prime moyenne} = \frac{150\times130+\dots+500\times10}{1000} = 251 \text{ dinars}\] Effectifs cumulés : 130, 480, 690, 820, 910, 960, 990, 1000.
Rangs : \(Q_1=250\) (classe [175;225[, cumul 130→480) ; \(M_e=500\) (classe [225;275[, cumul 480→690) ; \(Q_3=750\) (classe [275;325[, cumul 690→820).
\[Q_1 = 175+\frac{250-130}{350}\times50 \approx 192{,}1 \qquad M_e = 225+\frac{500-480}{210}\times50 \approx 229{,}8 \qquad Q_3 = 275+\frac{750-690}{130}\times50 \approx 298{,}1\]
La boîte de dispersion s’étend de 125 à 525, avec la “boîte” entre \(Q_1\approx192\) et \(Q_3\approx298\), et le trait médian à \(M_e\approx230\).
Activité 8
| salaire (10³ dinars) | 1 | 1,4 | 2,1 | 2,7 | 5,8 |
|---|---|---|---|---|---|
| effectif | 40 | 50 | 10 | 4 | 1 |
\(S_1\) est cette série ; \(S_2\) est \(S_1\) privée du salaire le plus élevé. Comparer moyennes, médianes, étendues, écarts types et écarts interquartiles de \(S_1\) et \(S_2\) : quels paramètres sont sensibles à la valeur extrême ?
| \(S_1\) (n=105) | \(S_2\) (n=104, sans 5,8) | |
|---|---|---|
| moyenne | 1,41 | 1,36 |
| médiane | 1,4 | 1,4 |
| étendue | 4,8 | 1,7 |
| écart type | 0,60 | 0,42 |
| \(Q_1\) ; \(Q_3\) | 1 ; 1,4 | 1 ; 1,4 |
La médiane et les quartiles ne changent pas (ou presque pas) : ce sont des statistiques de rang, peu sensibles à une valeur extrême isolée. En revanche, la moyenne, l’étendue et l’écart type chutent nettement une fois le salaire 5,8 retiré : ce sont les paramètres sensibles aux valeurs extrêmes.
2.1.2 2°) Comparaison de séries
Activité 1
Précipitations moyennes mensuelles (mm) de deux villes :
| mois | J | F | M | A | M | J | J | A | S | O | N | D |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(V_1\) | 80 | 95 | 68 | 64 | 77 | 87 | 127 | 122 | 84 | 88 | 67 | 76 |
| \(V_2\) | 165 | 149 | 97 | 76 | 55 | 40 | 20 | 20 | 50 | 78 | 157 | 169 |
Construire les diagrammes en boîte des deux séries sur une graduation commune ; déterminer la ville où les précipitations sont les plus régulières.
\(V_1\) : moyenne \(\approx86{,}3\) mm, écart type \(\approx19{,}3\) mm. \(V_2\) : moyenne \(\approx89{,}7\) mm, écart type \(\approx54{,}3\) mm.
Les deux villes ont une pluviométrie moyenne annuelle voisine, mais l’écart type de \(V_2\) est presque trois fois plus grand que celui de \(V_1\) : les précipitations de \(V_2\) varient beaucoup plus fortement d’un mois à l’autre. \(V_1\) est donc la ville la plus régulière.
Activité 2
Durée de vie (en 100 h) de 200 lampes électriques :
| durée de vie | [11;12[ | [12;13[ | [13;14[ | [14;15[ | [15;16[ | [16;17[ | [17;18[ | [18;19[ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| effectif | 6 | 14 | 25 | 75 | 80 | 10 | 8 | 2 |
Un autre lot a pour moyenne 1400 h et écart type 140 h : quelle usine semble la plus performante ?
\(\bar{X}\approx14{,}78\) (centaines d’heures) \(\approx1478\) h, et \(\sigma\approx1{,}25\) (centaines d’heures) \(\approx125\) h.
L’autre usine a une durée de vie moyenne plus faible (1400 h \(<\) 1478 h) mais surtout un écart type plus élevé (140 h \(>\) 125 h) : ses lampes sont à la fois moins performantes en moyenne et moins régulières. La première usine (celle du tableau) semble donc la plus performante.
Activité 3
Deux tireurs X et Y, 25 tirs chacun :
| points | 0 | 10 | 20 | 30 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| X | 2 | 5 | 6 | 7 | 5 |
| Y | 4 | 4 | 6 | 4 | 7 |
Comparer les écarts types pour déterminer le tireur le plus régulier.
X : moyenne \(=25{,}2\) points, écart type \(\approx15{,}3\). Y : moyenne \(=25{,}2\) points, écart type \(\approx17{,}9\).
Les deux tireurs ont la même moyenne, mais X a un écart type plus petit : X est le tireur le plus régulier.
Activité 4
Rémunérations mensuelles (centaines de dinars) de 40 hommes et 40 femmes :
| Rémunération | [0;2[ | [2;4[ | [4;6[ | [6;8[ |
|---|---|---|---|---|
| Hommes | 6 | 10 | 22 | 2 |
| Femmes | 25 | 10 | 5 | 0 |
Calculer le coefficient de variation \(\dfrac{\sigma}{\bar{x}}\) de chaque série : pour comparer deux séries d’unités différentes ou de moyennes très différentes, il vaut mieux comparer leurs coefficients de variation que leurs écarts types.
Hommes : \(\bar{x}=4\), \(\sigma\approx1{,}61\), \(CV=\sigma/\bar{x}\approx0{,}40\). Femmes : \(\bar{x}=2\), \(\sigma\approx1{,}41\), \(CV\approx0{,}71\).
L’écart type des hommes est plus grand en valeur absolue, mais leur rémunération moyenne l’est aussi ; une fois rapporté à la moyenne, ce sont les femmes qui ont le coefficient de variation le plus élevé : leurs rémunérations sont donc, relativement, plus dispersées.
2.2 II. Série statistique double
2.2.1 1°) Données individuelles
- Dans un repère orthogonal, l’ensemble des points \(M_i(x_i;y_i)\) est le nuage de points associé à la série statistique double \((X,Y)\).
- Si \(\bar{X}\) est la moyenne des \(x_i\) et \(\bar{Y}\) la moyenne des \(y_i\), le point \(G(\bar{X},\bar{Y})\) est le point moyen du nuage.
La représentation graphique des couples \((x_i;y_i)\) donne une première idée sur une corrélation éventuelle entre \(X\) et \(Y\) : les points peuvent se regrouper autour d’une droite (relation affine), d’une parabole (relation parabolique), ou ne présenter aucune relation apparente.
Activité 1
Production d’olives à huile et de céréales (milliers de tonnes), 10 gouvernorats, campagne 2000-2001 :
| Gouvernorat | Olives à huile | Céréales |
|---|---|---|
| Ariana | 11,6 | 16 |
| Bizerte | 12,8 | 209,24 |
| Béja | 18,9 | 349,1 |
| Zaghouan | 46,4 | 79,03 |
| Sousse | 45,2 | 0,18 |
| Sfax | 140 | 0,18 |
| Kairouan | 84 | 52,64 |
| Sidi Bouzid | 75 | 29,92 |
| Gafsa | 18,5 | 1,11 |
| Médenine | 22,4 | 0,01 |
Quelle est la population étudiée ? Les deux caractères ? Moyenne et écart type de chacun ?
Construisons le nuage de points et son point moyen \(G\) :
Essayez de modifier les listes olives / cereales ci-dessus (bouton ✏️ Voir le code) et relancez pour observer l’effet sur le point moyen. Reste à calculer les écarts types de chaque variable :
La population est l’ensemble des 10 gouvernorats ; les deux caractères sont \(X=\) production d’olives à huile et \(Y=\) production de céréales (en milliers de tonnes).
\(\bar{X}\approx47{,}48\), \(\sigma_X\approx39{,}29\) ; \(\bar{Y}\approx73{,}74\), \(\sigma_Y\approx110{,}20\) — l’écart type de \(Y\) est très supérieur à sa propre moyenne : la production de céréales est extrêmement dispersée d’un gouvernorat à l’autre (Béja à 349,1 contre Sfax à 0,18). Point moyen : \(G(47{,}48\,;\,73{,}74)\).
Activité 2
Notes en économie (\(x_i\)) et en maths (\(y_i\)) de 10 élèves :
| \(x_i\) | 5 | 7 | 9 | 9 | 10 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 6 | 7 | 8 | 10 | 11 | 13 | 10 | 13 | 12 | 16 |
Placer les points \(M_i(x_i;y_i)\), calculer \(\bar{X}\), \(\bar{Y}\), puis placer \(G(\bar{X},\bar{Y})\).
\(\bar{X}=\dfrac{5+7+9+9+10+10+11+12+13+14}{10}=10\), \(\bar{Y}=\dfrac{6+7+8+10+11+13+10+13+12+16}{10}=10{,}6\). Point moyen \(G(10\,;\,10{,}6)\). Le nuage semble globalement croissant : plus la note en économie est élevée, plus la note en maths a tendance à l’être aussi (relation affine approximative).
Activité 3
Balance commerciale alimentaire de la Tunisie (millions de dinars), à partir de 1998 :
| importation \(x_i\) | 802,5 | 670,9 | 782,4 | 887,6 | 940 | 917 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| exportation \(y_i\) | 548,7 | 706,8 | 628,2 | 669,9 | 471,5 | 669,5 |
Construire le nuage, déterminer les moyennes, le point moyen et les écarts types.
\(\bar{X}=833{,}4\), \(\sigma_X\approx92{,}4\) ; \(\bar{Y}\approx615{,}8\), \(\sigma_Y\approx81{,}2\) (en millions de dinars). Point moyen \(G(833{,}4\,;\,615{,}8)\) : la Tunisie importe en moyenne plus qu’elle n’exporte sur cette période (balance déficitaire).
Activité 4 Un nuage de points donne la production annuelle (tonnes) d’une entreprise depuis 1995 (année 1995 numérotée 1, etc.). Reconstituer le tableau statistique, la production moyenne et le point moyen.
Avec les valeurs lues sur le graphique, la production moyenne est \(\bar{Y}\approx682\) tonnes, pour une année moyenne \(\bar{X}=5{,}5\) (soit entre 1999 et 2000). Le point moyen est donc environ \(G(5{,}5\,;\,682)\). (Les valeurs exactes dépendent de la lecture graphique ; seule la méthode — moyenne des abscisses, moyenne des ordonnées — est à retenir.)
Activité 5
Rang IDH et rang PNB de 12 pays en 1995 :
| pays | \(P_1\) | \(P_2\) | \(P_3\) | \(P_4\) | \(P_5\) | \(P_6\) | \(P_7\) | \(P_8\) | \(P_9\) | \(P_{10}\) | \(P_{11}\) | \(P_{12}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| rang IDH \(x_i\) | 11 | 32 | 110 | 62 | 8 | 161 | 6 | 3 | 132 | 10 | 112 | 143 |
| rang PNB \(y_i\) | 12 | 36 | 122 | 10 | 9 | 171 | 13 | 3 | 140 | 19 | 97 | 114 |
\(N_1\) = points \(M_1,\dots,M_6\), \(N_2\) = points restants. Calculer \(G_1\), \(G_2\), une équation de \((G_1G_2)\), et expliquer pourquoi cette droite passe par \(G\).
\(G_1=(64\,;\,60)\) (moyenne des 6 premiers pays), \(G_2\approx(67{,}67\,;\,64{,}33)\) (moyenne des 6 derniers). Coefficient directeur : \[a=\frac{64{,}33-60}{67{,}67-64}\approx1{,}18 \qquad b = 60-1{,}18\times64\approx-15{,}6\] soit \((G_1G_2)\) : \(y\approx1{,}18x-15{,}6\).
Le point moyen global est \(G(65{,}83\,;\,62{,}17)\). Comme \(\bar X\) (et \(\bar Y\)) est la moyenne des 12 valeurs, on a \(\bar X = \dfrac{6\times\bar{X}_{N_1}+6\times\bar{X}_{N_2}}{12}=\dfrac{\bar{X}_{N_1}+\bar{X}_{N_2}}{2}\) (car les deux sous-groupes ont le même effectif, 6) : \(G\) est donc le milieu du segment \([G_1G_2]\), ce qui prouve qu’il appartient à la droite \((G_1G_2)\).
2.2.2 2°) Données groupées
- Les distributions marginales d’un caractère s’obtiennent en sommant les effectifs d’un tableau à double entrée, ligne par ligne (ou colonne par colonne).
- Les fréquences marginales sont les rapports des effectifs d’une distribution marginale à l’effectif total.
Activité 1
Répartition de 300 membres d’un club sportif selon taille \(x_i\) (cm) et poids \(y_i\) (kg) :
| taille \ poids | 60 | 62,5 | 65 | 67,5 | 70 | 72,5 | 75 | 77,5 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 160 | 4 | 3 | 2 | ||||||
| 165 | 7 | 17 | 8 | 1 | |||||
| 170 | 2 | 20 | 30 | 17 | 4 | 1 | |||
| 175 | 7 | 28 | 36 | 16 | 5 | 1 | |||
| 180 | 1 | 6 | 19 | 22 | 10 | 4 | 2 | ||
| 185 | 4 | 3 | 8 | 5 | 1 | ||||
| 190 | 2 | 2 | 2 |
Déterminer les distributions des effectifs marginaux selon la taille, puis selon le poids.
Distribution marginale selon la taille :
| taille | 160 | 165 | 170 | 175 | 180 | 185 | 190 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| effectif | 9 | 33 | 74 | 93 | 64 | 21 | 6 |
Distribution marginale selon le poids :
| poids | 60 | 62,5 | 65 | 67,5 | 70 | 72,5 | 75 | 77,5 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| effectif | 4 | 12 | 47 | 72 | 77 | 47 | 24 | 12 | 5 |
(Les deux distributions totalisent bien 300 membres.)
Activité 3
| X \ Y | [10;20[ | [20;30[ | [30;35[ |
|---|---|---|---|
| 10 | 2 | 0 | 0 |
| 30 | 1 | 2 | 0 |
| 60 | 0 | 1 | 4 |
Déterminer les effectifs et fréquences marginales de \(X\) et \(Y\) (taille et bénéfice mensuel moyen d’entreprises).
\(n=10\). Effectif marginal de \(X\) : 2 (pour 10), 3 (pour 30), 5 (pour 60) — fréquences 20 %, 30 %, 50 %. Effectif marginal de \(Y\) : 3 ([10;20[), 3 ([20;30[), 4 ([30;35[) — fréquences 30 %, 30 %, 40 %.
Activité 4
| catégorie \ salaire | \(200 \le S <500\) | \(500\le S<800\) | \(800\le S<1000\) |
|---|---|---|---|
| ouvrier | 170 | 100 | 0 |
| cadre | 0 | 10 | 20 |
Distributions et fréquences marginales de \(C\) et \(S\), puis moyenne et écart type de \(S\).
Effectif marginal de \(S\) : 170, 110, 20 (\(n=300\)). Effectif marginal de \(C\) : 270 ouvriers, 30 cadres. \[\bar{S} = \frac{350\times170+650\times110+900\times20}{300} \approx 496{,}7 \text{ dinars}, \qquad \sigma_S \approx 177{,}9\]
Activité 5
21 appartements suivant le nombre de personnes \(X\) et le nombre de pièces \(Y\) :
| X \ Y | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 | 0 |
| 3 | 0 | 2 | 1 |
| 4 | 1 | 4 | 4 |
| 5 | 2 | 1 | 2 |
À chaque effectif non nul \(n_{ij}\), on associe le point pondéré \(M_{ij}(x_i,y_j)\). L’ensemble de ces points pondérés constitue le nuage de points de la série double ; \(G(\bar X,\bar Y)\) en est le point moyen.
\(n=21\) (on retrouve bien l’effectif total de l’énoncé). \[\bar{X}=\frac{2\times1+2\times3+3\times2+3\times1+4\times1+4\times4+4\times4+5\times2+5\times1+5\times2}{21}\approx3{,}71\] \[\bar{Y}=\frac{2\times1+3\times3+3\times2+4\times1+2\times1+3\times4+4\times4+2\times2+3\times1+4\times2}{21}\approx3{,}14\] Point moyen \(G\approx(3{,}71\,;\,3{,}14)\).
Activité 6
Répartition de véhicules selon leur puissance \(X\) (chevaux) et la durée pneumatique \(Y\) (milliers de km) :
| \(x_i\) \ \(y_i\) | [15;20[ | [20;25[ | [25;30[ |
|---|---|---|---|
| 2 | 0 | 5 | 25 |
| 3 | 8 | 20 | 3 |
| 4 | 30 | 7 | 2 |
- Calculer la proportion des voitures ayant une puissance inférieure ou égale à 3 chevaux et une durée pneumatique supérieure ou égale à 20 000 km.
- Déterminer les distributions marginales des effectifs de \(X\) et de \(Y\).
- Construire le nuage de points de cette série et placer le point moyen \(G\).
- \(n_{\text{total}}=100\). Les voitures avec \(x\le3\) et \(y\ge20\) correspondent aux cases (2 ; [20;25[)=5, (2 ; [25;30[)=25, (3 ; [20;25[)=20, (3 ; [25;30[)=3, soit \(5+25+20+3=53\). Proportion \(=\dfrac{53}{100}=53\%\).
- Effectif marginal de \(X\) : 30 (2 CV), 31 (3 CV), 39 (4 CV). Effectif marginal de \(Y\) : 38 ([15;20[), 32 ([20;25[), 30 ([25;30[).
- Moyennes : \(\bar{X}=3{,}09\) CV, \(\bar{Y}=22{,}1\) (milliers de km) : \(G(3{,}09\,;\,22{,}1)\).
Activité 7
Le nuage suivant représente la série statistique double donnant la répartition de 100 nouveau-nés suivant la taille (en cm) et le poids (en kg) (voir manuel, p. 21).
- Remplir le tableau statistique ci-dessous qui définit la distribution représentée par le nuage.
- Déterminer la distribution des effectifs marginaux des variables étudiées.
- Préciser les coordonnées du point moyen du nuage.
| poids \ taille | 43 à 45 | 46 à 48 | 49 à 51 | 52 à 54 | 55 à 57 |
|---|---|---|---|---|---|
| [2 ; 2,6[ | |||||
| [2,6 ; 3,2[ | |||||
| [3,2 ; 3,8[ | |||||
| [3,8 ; 4,4[ | |||||
| [4,4 ; 5[ |
Cette activité demande de relire un graphique imprimé dans le manuel (un nuage de 100 points pondérés) pour reconstituer le tableau — les effectifs ne peuvent pas être devinés sans l’avoir sous les yeux. La méthode, une fois le tableau rempli, est exactement celle de l’Activité 1 de ce même paragraphe : sommer chaque ligne pour la distribution marginale du poids, chaque colonne pour celle de la taille, puis calculer \(\bar{X}\) et \(\bar{Y}\) (pondérées par les effectifs) pour obtenir \(G\).
Activité 8
Répartition de 25 élèves selon le nombre de séances de cinéma \(X\) (mois précédent) et la distance de leur domicile au centre-ville \(Y\) (km) :
| élève | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(X\) | 2 | 1 | 4 | 0 | 1 | 4 | 1 | 2 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 1 | 0 | 4 | 1 | 3 | 0 | 1 |
| \(Y\) | 3 | 2 | 3 | 3 | 12 | 1 | 3 | 2 | 2 | 14 | 12 | 1 | 13 | 1 | 9 | 25 | 20 | 7 | 20 | 5 | 8 | 8 | 2 | 9 | 16 |
Classer les couples par \(X\) croissant (puis \(Y\) croissant), partager \([0;25[\) en 5 classes d’amplitude 5, dresser le tableau à double entrée, puis construire le nuage de points et son point moyen.
Tableau à double entrée obtenu (lignes : \(X=0..4\) séances ; colonnes : classes de \(Y\), \([0;5[\ ,[5;10[\ ,[10;15[\ ,[15;20[\ ,[20;25[\)) :
| \(X\backslash Y\) | [0;5[ | [5;10[ | [10;15[ | [15;20[ | [20;25[ |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 3 | 3 | 2 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Effectifs marginaux : \(X\) → 7, 10, 4, 1, 3 (pour \(X=0,1,2,3,4\)) ; \(Y\) → 11, 6, 4, 1, 3 (pour les 5 classes). En utilisant les centres de classe (2,5 ; 7,5 ; 12,5 ; 17,5 ; 22,5) pour \(Y\), on obtient \(\bar{X}=1{,}32\) et \(\bar{Y}\approx8{,}3\) (contre \(\bar Y \approx 8{,}0\) en calculant directement sur les 25 valeurs brutes — la petite différence vient du regroupement en classes).
3 Utilisation des T.I.C.
Le manuel propose d’utiliser un tableur pour recalculer instantanément le salaire moyen d’une entreprise après modification des effectifs ou des salaires par catégorie. Voici un vrai tableur, directement dans la page (mêmes raccourcis qu’Excel ou Google Sheets : cliquez sur une cellule, tapez une formule commençant par =, appuyez sur Entrée) :
Modifiez librement les effectifs (ligne 2) ou les salaires (ligne 3) : la formule en D4 recalcule instantanément le salaire moyen, exactement comme dans le manuel.
Voici le même calcul en Python, pour comparer les deux approches :
salaire_moyen = numerateur / denominateur
En changeant les effectifs (ligne 2) et en diminuant certains salaires (ligne 3) dans le tableur ci-dessus, montrez qu’il est possible d’augmenter le salaire moyen global — c’est le paradoxe de Simpson appliqué aux salaires, retrouvé dans l’exercice 2 ci-dessous (avec son propre tableur).
Avec les données de départ : numérateur \(=170\times300+100\times375+10\times375+20\times450=101\,250\), dénominateur \(=300\), donc \[\text{salaire moyen} = \frac{101\,250}{300}=337{,}5 \text{ dinars.}\]
4 Exercices et problèmes
Exercice 1 \(S_1\): 3, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 15, 16, 50. \(S_2\) = \(S_1\) privée de la valeur 50.
- Calculer étendue, écart type, écart interquartile, moyenne et médiane de chacune des deux séries.
- Quelle caractéristique cet exemple met-il en évidence ?
Vérifiez au moins les deux moyennes :
Complétez maintenant les autres paramètres (étendue, écart type, médiane) :
| \(S_1\) (n=10) | \(S_2\) (n=9) | |
|---|---|---|
| moyenne | 13,5 | 9,44 |
| médiane | 10,5 | 9 |
| étendue | 47 | 13 |
| écart type | 12,91 | 4,55 |
| \(Q_1\) ; \(Q_3\) | 5 ; 15 | 5 ; 13 |
| écart interquartile | 10 | 8 |
2. La moyenne, l’étendue et l’écart type chutent très fortement quand on retire la valeur 50, alors que la médiane et l’écart interquartile bougent à peine : cet exemple illustre la sensibilité aux valeurs extrêmes des paramètres basés sur la moyenne, par opposition à la robustesse des paramètres basés sur les rangs (médiane, quartiles).
Exercice 2 Deux entreprises \(E_1\) et \(E_2\) : employés classés en ouvriers/cadres, selon le salaire mensuel \(S\).
Entreprise \(E_1\)
| S \ C | \(250\le S<350\) | \(350\le S<400\) | \(400\le S<500\) |
|---|---|---|---|
| ouvrier | 170 | 100 | 0 |
| cadre | 0 | 10 | 20 |
Entreprise \(E_2\)
| S \ C | \(250\le S<350\) | \(350\le S<400\) | \(400\le S<500\) |
|---|---|---|---|
| ouvrier | 280 | 140 | 0 |
| cadre | 0 | 40 | 40 |
Calculer les salaires moyens \(m_1, m_2\) (global), \(m_1', m_2'\) (ouvriers), \(m_1'', m_2''\) (cadres). Le PDG de \(E_2\) affirme payer mieux que \(E_1\) ; celui de \(E_1\) répond que ses ouvriers et ses cadres sont mieux payés. Expliquez ce paradoxe (voir aussi le TIC ci-dessus).
Explorez le paradoxe dans un vrai tableur (les cellules E7 et E12 calculent les moyennes globales) :
| \(E_1\) (n=300) | \(E_2\) (n=500) | |
|---|---|---|
| ouvriers \(m'\) | 327,78 | 325,00 |
| cadres \(m''\) | 425,00 | 412,50 |
| global \(m\) | 337,50 | 339,00 |
Les deux PDG ont raison : \(E_1\) paie mieux chaque catégorie séparément (327,78 > 325 et 425 > 412,5), mais \(E_2\) a une moyenne globale plus élevée (339 > 337,5). L’explication : \(E_2\) emploie une proportion de cadres bien plus grande (\(\frac{80}{500}=16\%\)) que \(E_1\) (\(\frac{30}{300}=10\%\)) — or les cadres sont mieux payés. Cette différence de composition (plus de cadres, mieux payés, chez \(E_2\)) suffit à faire basculer la moyenne globale, même si chaque catégorie individuelle est mieux payée chez \(E_1\). C’est le paradoxe de Simpson.
Exercice 3 Une entreprise conditionne du café (réglage 265 g) sur deux machines.
Machine 1 (échantillon prélevé) :
256 259 260 260 261 261 261 261 262 262 262 262 263 263 263 264
264 264 264 265 265 265 265 265 266 266 266 266 266 266 267 267
268 269 269 270 270 271 273Machine 2 (36 paquets) :
260 262 263 264 264 265 266 266 267 268 268 268 269 269 269 269
269 269 270 270 271 271 271 271 272 272 272 273 273 274 276 276
277 277 279 280Calculer les quartiles de chaque échantillon, comparer les écarts interquartiles, construire les diagrammes en boîte : quelle machine est la plus appropriée ?
La liste imprimée pour la machine 1 ne compte que 39 valeurs (le manuel annonce 40 paquets — coquille probable de l’édition papier) ; les calculs ci-dessous se basent sur les 39 valeurs réellement fournies.
Machine 1 (\(n=39\), non multiple de 4) : \(Q_1=262\), \(Q_3=266\), écart interquartile \(=4\). Machine 2 (\(n=36\), multiple de 4) : \(Q_1=267\), \(Q_3=272\), écart interquartile \(=5\).
La machine 1 a un écart interquartile plus faible : ses paquets sont plus homogènes en poids autour de sa médiane. Sa moyenne (\(\approx264{,}5\) g) est aussi plus proche du réglage visé (265 g) que celle de la machine 2 (\(270\) g, qui sur-dose systématiquement). La machine 1 semble la plus appropriée pour ce réglage.
Exercice 4
Salaires annuels \(X\) (milliers de dinars) et ancienneté \(Y\) du personnel d’une entreprise :
| X \ Y | [0;5[ | [5;10[ | [10;15[ | [15;20[ |
|---|---|---|---|---|
| [5;10[ | 5 | 78 | 2 | 1 |
| [10;15[ | 3 | 4 | 3 | 3 |
| [15;20[ | 0 | 1 | 3 | 6 |
Distributions marginales de \(X\) et \(Y\), moyenne et écart type des salaires.
Effectif marginal de \(X\) (salaire) : 86 ([5;10[), 13 ([10;15[), 10 ([15;20[) — \(n=109\). Effectif marginal de \(Y\) (ancienneté) : 8, 83, 8, 10. \[\bar{X} = \frac{7{,}5\times86+12{,}5\times13+17{,}5\times10}{109} \approx 9{,}01 \text{ milliers de dinars}, \qquad \sigma_X \approx 3{,}14\]
Exercice 5
Consommation mondiale de sucre (milliers de tonnes) :
| année | 1900 | 1910 | 1920 | 1930 | 1940 | 1950 | 1960 | 1970 | 1978 | 1980 | 1994 | 1995 | 1996 | 1998 | 1999 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| conso. | 8130 | 12269 | 13024 | 24274 | 26704 | 29404 | 49298 | 70480 | 122931 | 88646 | 112954 | 116590 | 120032 | 124417 | 126221 |
(Source : Centre d’études et de documentation du sucre, novembre 2000.) Représenter cette série chronologique par un nuage de points et déterminer le point moyen (arrondi à l’unité).
Année moyenne \(\approx1961\), consommation moyenne \(\approx69\,692\) milliers de tonnes : \(G(1961\,;\,69\,692)\). Le nuage montre une nette tendance croissante (relation approximativement affine, voire un peu accélérée après 1970), cohérente avec la croissance de la population et de la consommation mondiales sur le XXᵉ siècle.
Exercice 6 Entreprise de 450 salariés : 3 femmes pour 2 hommes. Les 22 cadres se répartissent également entre les deux sexes ; parmi les 72 agents, un homme pour deux femmes. Le reste est employé. Dresser le tableau des effectifs selon catégorie professionnelle et sexe, avec les effectifs marginaux.
\(n_{\text{femmes}}=270\), \(n_{\text{hommes}}=180\). Cadres : 11 hommes, 11 femmes. Agents : 24 hommes, 48 femmes. Employés (le reste) : \(180-11-24=145\) hommes, \(270-11-48=211\) femmes.
| hommes | femmes | total | |
|---|---|---|---|
| cadre | 11 | 11 | 22 |
| agent | 24 | 48 | 72 |
| employé | 145 | 211 | 356 |
| total | 180 | 270 | 450 |
Exercice 7
Élèves de 13 à 20 ans interrogés sur le nombre de livres lus le mois précédent (%) :
| âge \ livres lus | 0 | 1 | 2 ou 3 | 4 ou plus |
|---|---|---|---|---|
| [13;15[ | 7 | 22 | 40 | 31 |
| [15;18[ | 12 | 33 | 35 | 20 |
| [18;20[ | 26 | 37 | 27 | 10 |
Sachant que l’échantillon comptait 50% d’élèves de 13–15 ans, 30% de 15–18 ans et 20% de 18–20 ans, retrouver le tableau des fréquences puis les fréquences marginales des deux distributions.
Tableau des fréquences globales (en %) :
| âge \ livres | 0 | 1 | 2 ou 3 | 4 ou plus |
|---|---|---|---|---|
| [13;15[ | 3,5 | 11,0 | 20,0 | 15,5 |
| [15;18[ | 3,6 | 9,9 | 10,5 | 6,0 |
| [18;20[ | 5,2 | 7,4 | 5,4 | 2,0 |
Fréquences marginales “nombre de livres” : 12,3 % (0) ; 28,3 % (1) ; 35,9 % (2 ou 3) ; 23,5 % (4 ou plus). Fréquences marginales “âge” : 50 %, 30 %, 20 % (données de l’énoncé, retrouvées en sommant chaque ligne).
Exercice 8
| \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| \(y_i\) | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
Point moyen du nuage \((X,Y)\) ; \(N_1\) = points \(M_1,\dots,M_5\), \(N_2\) = points \(M_6,\dots,M_{10}\). Points moyens \(G_1\), \(G_2\) ; équation réduite de \((G_1G_2)\).
\(G(4{,}5\,;\,28{,}5)\) (moyenne des 10 points). \(G_1=(2\,;\,6)\) (moyenne des 5 premiers), \(G_2=(7\,;\,51)\) (moyenne des 5 derniers). \[a = \frac{51-6}{7-2} = 9, \qquad b = 6 - 9\times2 = -12\] \((G_1G_2)\) : \(y=9x-12\). Le nuage suit en réalité une relation parabolique (\(y_i=x_i^2\), pas une droite) : la droite \((G_1G_2)\) n’est ici qu’une approximation grossière, utile pour illustrer que la méthode de Mayer suppose implicitement une tendance affine.
Exercice 9
Chiffre d’affaires \(y_i\) selon les frais de publicité \(x_i\) (millions de dinars), sur 8 ans :
| année | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(X_i\) | 2 | 2,3 | 2,6 | 2,9 | 3,2 | 3,5 | 3,8 | 4,1 |
| \(Y_i\) | 52 | 59 | 60 | 65 | 70 | 72 | 73 | 75 |
Points moyens \(G_1\) (4 premières années) et \(G_2\) (4 dernières) ; équation de \((G_1G_2)\).
\(G_1=(2{,}45\,;\,59)\) (moyenne des 4 premières années), \(G_2=(3{,}65\,;\,72{,}5)\) (moyenne des 4 dernières). \[a = \frac{72{,}5-59}{3{,}65-2{,}45} = \frac{13{,}5}{1{,}2} = 11{,}25, \qquad b = 59-11{,}25\times2{,}45 \approx 31{,}44\] \((G_1G_2)\) : \(y\approx11{,}25x+31{,}44\). Le coefficient directeur positif confirme qu’une hausse des frais de publicité s’accompagne, sur cette période, d’une hausse du chiffre d’affaires.
Exercice 10
PNB (€/habitant) et nombre d’hôpitaux (pour 1 million d’habitants) de 8 pays européens :
| pays | \(P_1\) | \(P_2\) | \(P_3\) | \(P_4\) | \(P_5\) | \(P_6\) | \(P_7\) | \(P_8\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| X = PNB | 5100 | 7800 | 11200 | 15800 | 20100 | 22500 | 26200 | 28900 |
| Y = hôpitaux | 620 | 1080 | 1550 | 2100 | 3000 | 3250 | 3800 | 4200 |
Point moyen \(G\) ; sous-nuages \(\{P_1..P_4\}\) et \(\{P_5..P_8\}\), points moyens \(G_1\), \(G_2\). Démontrer que la droite de Mayer \((G_1G_2)\) a pour équation \(y = 0{,}13x + 159\).
En reprenant exactement les valeurs imprimées dans le manuel, le calcul ci-dessous ne retombe pas sur \(y=0{,}13x+159\) : c’est probablement une coquille de l’édition papier (valeur d’une ancienne version du tableau, non mise à jour). La méthode reste la bonne référence ; c’est elle qu’il faut retenir pour l’examen.
\(G_1=(9975\,;\,1337{,}5)\) (moyenne de \(P_1..P_4\)), \(G_2=(24425\,;\,3562{,}5)\) (moyenne de \(P_5..P_8\)). \[a = \frac{3562{,}5-1337{,}5}{24425-9975} = \frac{2225}{14450} \approx 0{,}154, \qquad b = 1337{,}5-0{,}154\times9975 \approx -198{,}4\] On obtient donc \((G_1G_2)\) : \(y\approx0{,}154x-198{,}4\) à partir des valeurs du tableau — et non \(y=0{,}13x+159\) comme l’indique le manuel (voir la remarque ci-dessus). Le point moyen global \(G(17\,200\,;\,2450)\) vérifie bien l’équation trouvée (\(0{,}154\times17\,200-198{,}4\approx2450\)), ce qui confirme que la méthode est correctement appliquée.
5 Math culture
Au II\(^e\) millénaire av. J.-C., les Chinois étudient déjà les chiffres de leurs productions agricoles, tandis que les Égyptiens organisent des recensements de leur population. Dans l’Antiquité, Grecs et Romains recueillent des données chiffrées relatives à la population ; le gouvernement de Rome procède au premier recensement de l’histoire à grande échelle.
Le Moyen Âge connaît très peu de recensements. Au VIII\(^e\) siècle, Charlemagne commande des relevés des propriétés ecclésiastiques. En 1086, Guillaume le Conquérant ordonne le recensement de toutes les terres anglaises : les informations sont consignées dans le Domesday Book.
Au début du XVI\(^e\) siècle, on commence à tenir en Angleterre un registre des décès et des naissances. En France, les intendants Sully, Colbert et Vauban commandent de nombreux inventaires et enquêtes. En 1662, l’Anglais John Graunt constate une certaine constance dans le rapport du nombre de naissances féminines à celui des naissances masculines — prélude aux développements du XVIII\(^e\) siècle, où les statistiques servent de base à des prévisions. Dès 1853, la statistique se développe dans la plupart des sciences, donnant naissance à la mécanique statistique.
Aujourd’hui, les statistiques sont considérées comme des outils fiables pour représenter et interpréter des données économiques, politiques, sociales, psychologiques, biologiques ou physiques. Le travail du statisticien ne se limite plus à recueillir et présenter des données sous forme de tableaux ou de graphiques : il consiste désormais principalement à interpréter l’information.
(Source : Microsoft Encarta, 2006.)