Chapitre 1 — Généralités sur les fonctions

3ème année secondaire Sciences Techniques — Manuel CNP

AstuceDans ce chapitre
  • Introduction — deux activités qui rappellent la notion de fonction à partir d’exemples concrets (une parabole, une loi physique \(i = P/v\)).
  • Cours — domaine de définition, sens de variation, taux d’accroissement, parité, extremums, périodicité, fonctions affines par intervalles — chaque notion est illustrée par une courbe GeoGebra interactive.
  • Résumé — les définitions essentielles regroupées.
  • Exercices et problèmes — 13 exercices et 2 problèmes, avec correction détaillée.

1 Introduction

La notion de fonction numérique d’une variable réelle a été étudiée en classe de 2ième année sciences. Les activités qui suivent ont pour objectifs de rappeler, de consolider et de compléter les acquis des élèves dans ce domaine.

Activité 1 Dans le graphique ci-contre la parabole \((P)\) est la courbe représentative d’une fonction \(f : x \mapsto ax^2+b\), la droite \(D\) est celle d’une fonction affine \(g : x \mapsto cx+d\).

  1. Déterminer les réels \(a,\ b,\ c\) et \(d\).
  2. Déterminer, graphiquement puis par le calcul, les coordonnées des points d’intersection de \((P)\) et \(D\).
  3. Utiliser le graphique pour résoudre l’inéquation \(-2x^2+x+1 \geq 0\).

1) La parabole passe par son maximum en \(x=0\) avec \(f(0)=2\), donc \(b=2\). Elle coupe l’axe des abscisses en \(x=\pm 1\) : \(-a+2=0 \Rightarrow a=-2\). La droite \(D\) coupe l’axe des ordonnées en \(y=1\) : \(d=1\). Elle passe par le point \((1,0)\) (racine positive de \(f\), lue sur le graphique comme intersection avec l’axe) : \(c+1=0 \Rightarrow c=-1\).

\[a=-2,\quad b=2,\quad c=-1,\quad d=1\]

2) Graphiquement, \((P)\) et \(D\) semblent se couper vers \(x=-0{,}5\) et \(x=1\). Par le calcul, on résout \(f(x)=g(x)\) : \[-2x^2+2=-x+1 \iff -2x^2+x+1=0\] Discriminant : \(\Delta = 1^2-4(-2)(1)=9\), racines \(x=\dfrac{-1\pm 3}{-4}\), soit \(x=-\dfrac{1}{2}\) ou \(x=1\). Points d’intersection : \(\left(-\dfrac12,\dfrac32\right)\) et \((1,0)\).

3) \(-2x^2+x+1 \geq 0\) est équivalent à \(f(x)\geq g(x)\), c’est-à-dire que la courbe de \(f\) est au-dessus (ou touche) la droite \(D\). D’après la question 2, cela a lieu entre les deux abscisses d’intersection : \[\mathcal S = \left[-\frac12,\ 1\right]\]

Activité 2 Un appareil électrique consomme une puissance \(P=600\) watts. Il est alimenté sous une tension variable \(v\) (en volts) et est parcouru par un courant \(i\) (en ampères). On rappelle la formule \(i=\dfrac{P}{v}\) ou \(P=v.i\).

Les différentes mesures de \(i\) en fonction de \(v\) ont donné la courbe \((C)\) ci-contre. Dans l’axe des abscisses on lit les valeurs de \(v\) et dans l’axe des ordonnées on lit les valeurs de \(i\).

  1. a- Compléter l’écriture : \((C)\) est la courbe représentative de la fonction \(f : \mathbb R_+^* \to \mathbb R,\ x \mapsto \ldots\) b- Répondre par vrai ou faux :
    • \((C)\) est une branche d’une parabole.
    • \((C)\) est une branche d’une hyperbole.
    • \(f\) est croissante sur \(]0,100]\) et décroissante sur \([100,+\infty[\).
    • \(f\) est décroissante sur \(\mathbb R_+^*\).
  2. a- Calculer l’intensité du courant si la tension est de 220 volts. b- L’appareil ne peut supporter une intensité supérieure à 6 ampères. Quelle est la tension minimale permise ?

1) a- \(f(x) = \dfrac{600}{x}\).

b- Vrai/Faux :

  • « \((C)\) est une branche d’une parabole. » — Faux.
  • « \((C)\) est une branche d’une hyperbole. » — Vrai.
  • « \(f\) est croissante sur \(]0,100]\) et décroissante sur \([100,+\infty[\). » — Faux : \(f\) est décroissante sur tout \(\mathbb R_+^*\).
  • « \(f\) est décroissante sur \(\mathbb R_+^*\). » — Vrai.

2) a- \(i = \dfrac{600}{220} \approx 2{,}73\) A.

b- On veut \(i \leq 6\), c’est-à-dire \(\dfrac{600}{v}\leq 6 \iff v \geq 100\) (car \(v>0\)). La tension minimale permise est 100 volts.

2 Cours

2.1 Généralités

Activité 3 Déterminer l’ensemble de définition \(D_f\) de la fonction \(f\), à variable réelle, dans chacun des cas suivants : \[f(x)=x^2+x-4\] \[f(x)=\frac{1}{x^2-x}\] \[f(x)=\frac{x}{|x|-2}\] \[f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x+1}-1}\]

  • \(f(x)=x^2+x-4\) est un polynôme : \(D_f=\mathbb R\).
  • \(f(x)=\dfrac{1}{x^2-x}\) : il faut \(x^2-x\neq 0\), soit \(x(x-1)\neq 0\), donc \(D_f=\mathbb R\setminus\{0,1\}\).
  • \(f(x)=\dfrac{x}{|x|-2}\) : il faut \(|x|\neq 2\), soit \(x\neq \pm 2\), donc \(D_f=\mathbb R\setminus\{-2,2\}\).
  • \(f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x+1}-1}\) : il faut \(x+1\geq 0\) (racine définie) et \(\sqrt{x+1}\neq 1\), c’est-à-dire \(x+1\neq 1\) soit \(x\neq 0\). Donc \(D_f=[-1,+\infty[\setminus\{0\}\).
ImportantDéfinition

Soit \(f\) une fonction numérique à variable réelle. L’ensemble des réels \(x\) tels que \(f(x)\) existe s’appelle ensemble de définition de \(f\) ou domaine de définition de \(f\), noté \(D_f\).

Exemple : Soit \(f : x \mapsto \sqrt{1-x^2}\). Montrer que \(D_f=[-1,1]\).

Activité 4 Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,3]\) par \(f(x)=2x^3-9x^2+12x-5\). La figure ci-contre est la représentation graphique de \(f\) dans un repère \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\).

  1. Répondre par vrai ou faux.
    1. \(f\) est croissante dans l’intervalle \([0,2]\).
    2. \(f\) est croissante dans l’intervalle \([2,3]\).
    3. \(f\) est décroissante dans l’intervalle \([1,2]\).
    4. \(f\) est monotone dans l’intervalle \([1,3]\).
    5. \(f\) admet un maximum égal à \(0\) au point \(1\).
    6. \(f\) admet un maximum en \(x=3\).
    7. Dans l’intervalle \(\left[1,\dfrac52\right]\), \(f\) admet un minimum en \(2\) égal à \(-1\).
  2. Résumer dans un tableau les variations de \(f\).

\(f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)\), du signe de \((x-1)(x-2)\) multiplié par \(6>0\) : positif hors de \([1,2]\), négatif sur \([1,2]\). Donc \(f\) est croissante sur \([0,1]\), décroissante sur \([1,2]\), croissante sur \([2,3]\). On a \(f(0)=-5\), \(f(1)=0\), \(f(2)=-1\), \(f(3)=4\).

    1. Faux (\(f\) croît sur \([0,1]\) puis décroît sur \([1,2]\), donc pas sur tout \([0,2]\)). b. Vrai. c. Faux (\(f\) décroît sur \([1,2]\) tout entier, l’affirmation est vraie en fait — décroissante sur \([1,2]\) signifie décroissante, ce qui est le cas : Vrai). d. Faux (\(f\) décroît puis croît sur \([1,3]\)). e. Vrai (\(f(1)=0\) est un maximum local). f. Vrai (\(f\) est croissante sur \([2,3]\), donc son maximum sur cet intervalle, et plus généralement sur \([0,3]\), est atteint en \(x=3\)). g. Faux : sur \(\left[1,\frac52\right]\), le minimum est \(f(2)=-1\) (la valeur \(-1\) est correcte mais vérifions le point : c’est bien en \(x=2\), l’affirmation est donc Vraie).

  2. Tableau de variation :

    \(x\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
    \(f'(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
    \(f(x)\) \(-5\) \(\nearrow\) \(0\) \(\searrow\) \(-1\) \(\nearrow\) \(4\)

Activité 5 Soit \(f\) la fonction à variable réelle, définie par \(f(x)=\dfrac12 x^2 - |x|\).

  1. a- Déterminer le domaine de définition de \(f\). b- Montrer que \(f\) est paire. c- Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs tels que \(a<b\). Vérifier que \(f(b)-f(a)=\dfrac12(b-a)(b+a-2)\). d- Déduire que \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\) et décroissante sur \([0,1]\).
  2. a- Tracer la partie de la courbe représentative de \(f\) correspondante à \([0,+\infty[\). b- En utilisant la parité de \(f\), compléter la courbe représentative de \(f\) sur son domaine de définition.
  3. \(f\) admet-elle des minimums, des maximums ? Pour quelles valeurs de \(x\) sont-ils atteints ?
  4. \(f\) admet-elle un maximum pour \(x=0\) ? Donner un intervalle ouvert contenant \(0\) dans lequel \(f(0)=0\) est un maximum pour \(f\).

1) a- \(D_f=\mathbb R\).

b- Pour tout \(x\), \(-x \in \mathbb R\) et \(f(-x)=\frac12(-x)^2-|-x|=\frac12 x^2-|x|=f(x)\) : \(f\) est paire.

c- Pour \(a,b\geq 0\), \(|a|=a\) et \(|b|=b\), donc \(f(b)-f(a)=\frac12(b^2-a^2)-(b-a)=\frac12(b-a)(b+a)-(b-a)=\frac12(b-a)(b+a-2)\).

d- Pour \(1\leq a<b\) : \(b-a>0\) et \(b+a-2>0\) (car \(a\geq 1\)), donc \(f(b)-f(a)>0\) : \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\). Pour \(0\leq a<b\leq 1\) : \(b-a>0\) et \(b+a-2<0\) (car \(a,b\leq 1 \Rightarrow a+b\leq 2\), avec égalité seulement si \(a=b=1\)), donc \(f(b)-f(a)<0\) : \(f\) est décroissante sur \([0,1]\).

2), 3) La figure ci-dessus montre la courbe complète (obtenue par symétrie par rapport à l’axe \((O,\vec\jmath)\) puisque \(f\) est paire). \(f\) admet un minimum (local et absolu sur \([0,+\infty[\), et de même sur \(]-\infty,0]\) par symétrie) égal à \(-\dfrac12\), atteint en \(x=1\) et en \(x=-1\). Elle n’admet pas de maximum absolu (elle tend vers \(+\infty\)).

4) \(f\) admet un maximum local en \(0\) égal à \(f(0)=0\) : sur l’intervalle ouvert \(]-1,1[\), on a \(f(x)\leq f(0)=0\) pour tout \(x\) (en effet \(f(x)=\frac12x^2-|x|\leq 0\) sur \([-1,1]\)).

ImportantDéfinition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb R\). On dit que :

  • \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), si \(a<b\) alors \(f(a)\leq f(b)\).
  • \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), si \(a<b\) alors \(f(a)\geq f(b)\).
  • \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si et seulement si pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), si \(a<b\) alors \(f(a)<f(b)\).
  • \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) si et seulement si pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), si \(a<b\) alors \(f(a)>f(b)\).

Activité 6 Montrer que :

  1. \(f\) est croissante sur \(I\) signifie que \(b-a\) et \(f(b)-f(a)\) ont le même signe pour tous réels \(a\) et \(b\) distincts de \(I\).
  2. \(f\) est décroissante sur \(I\) signifie que \(b-a\) et \(f(b)-f(a)\) ont des signes contraires.

a) Si \(f\) est croissante et \(a<b\) alors \(f(a)\leq f(b)\) donc \(b-a>0\) et \(f(b)-f(a)\geq 0\) : même signe (au sens large). Si \(a>b\), par croissance \(f(a)\geq f(b)\), donc \(b-a<0\) et \(f(b)-f(a)\leq 0\) : même signe à nouveau. La réciproque se traite de la même façon en revenant à la définition.

b) Symétrique, avec \(f\) décroissante : \(a<b \Rightarrow f(a)\geq f(b)\), donc \(b-a>0\) mais \(f(b)-f(a)\leq 0\) : signes contraires.

ImportantDéfinition

Soit \(a\) et \(b\) deux réels distincts de \(I\). Le réel \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\) s’appelle le taux d’accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(b\).

Activité 7 Montrer que :

  • \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si pour tous réels \(a\) et \(b\) distincts de \(I\), \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \geq 0\).
  • \(f\) est décroissante sur \(I\) si et seulement si pour tous réels \(a\) et \(b\) distincts de \(I\), \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq 0\).
  • \(f\) est constante sur \(I\) si et seulement si pour tous réels \(a\) et \(b\) distincts de \(I\), \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0\).

Conséquence immédiate de l’activité 6 : un quotient est positif si et seulement si le numérateur et le dénominateur sont de même signe, négatif si et seulement si signes contraires, nul si et seulement si le numérateur est nul (le dénominateur \(b-a\) n’étant jamais nul puisque \(a\neq b\)).

Activité 8 Soit \(f\) la fonction à variable réelle définie par \(f(x)=x^2-2x+5\).

  1. Soit \(a\) et \(b\) deux réels distincts. Vérifier que \(f(b)-f(a)=b^2-a^2-2(b-a)\).
  2. Montrer que \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=b+a-2\).
  3. En déduire que \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty,1]\).

a- \(f(b)-f(a)=(b^2-2b+5)-(a^2-2a+5)=b^2-a^2-2(b-a)\).

b- \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{(b-a)(b+a)-2(b-a)}{b-a}=b+a-2\) (pour \(a\neq b\)).

c- Si \(a,b\geq 1\), alors \(a+b\geq 2\) donc le taux d’accroissement \(b+a-2\geq 0\) : \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\). Si \(a,b\leq 1\), alors \(a+b\leq 2\) donc le taux d’accroissement est \(\leq 0\) : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty,1]\).

ImportantDéfinition

Une fonction \(f\) est dite paire si : pour tout réel \(x\) de \(D_f\), on a \(-x\in D_f\) et \(f(-x)=f(x)\).

Conséquences. Soit \(f\) une fonction paire de courbe représentative \(\zeta\) dans un repère \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\).

  • Pour tout réel \(x\) de \(D_f\), les points \(M(x,f(x))\) et \(M'(-x,f(-x))\) appartiennent à \(\zeta\).
  • Si le repère est orthogonal alors les points \(M\) et \(M'\) sont symétriques par rapport à \((O,\vec\jmath)\).
AstucePoint méthode

Pour tracer la courbe représentative \(\zeta\) d’une fonction paire, dans un repère orthogonal \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\) on trace la partie correspondante à \(x\geq 0\) ou à \(x\leq 0\) puis on termine par symétrie par rapport à \((OJ)\).

Activité 9 Le graphique ci-contre représente une partie de la courbe représentative \((\zeta)\) d’une fonction \(f\) paire dans le repère orthogonal \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\). Terminer la courbe de \(f\).

Comme \(f\) est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : on obtient la partie manquante (\(x<0\)) en réfléchissant la partie donnée (\(x\geq 0\)) par rapport à \((O,\vec{OJ})\). C’est la courbe complète affichée ci-dessus (bouton Réinitialiser pour la revoir).

ImportantDéfinition

Une fonction \(f\) est dite impaire si : pour tout réel \(x\) de \(D_f\), on a \(-x\in D_f\) et \(f(-x)=-f(x)\).

Activité 10 Soit \(f\) une fonction impaire de courbe représentative \(\zeta\) dans un repère \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\). Montrer que : pour tout réel \(x\) de \(D_f\),

  1. les points \(M(x,f(x))\) et \(M'(-x,-f(x))\) appartiennent à \(\zeta\) ;
  2. les points \(M(x,f(x))\) et \(M'(-x,-f(x))\) sont symétriques par rapport à \(O\).

a) Par définition \(M(x,f(x))\in\zeta\). Comme \(f\) est impaire, \(-x\in D_f\) et \(f(-x)=-f(x)\), donc le point de \(\zeta\) d’abscisse \(-x\) a pour ordonnée \(f(-x)=-f(x)\) : c’est exactement \(M'(-x,-f(x))\), qui appartient donc à \(\zeta\).

b) Le milieu de \([MM']\) a pour coordonnées \(\left(\dfrac{x+(-x)}2,\dfrac{f(x)+(-f(x))}2\right)=(0,0)=O\) : \(M\) et \(M'\) sont bien symétriques par rapport à \(O\).

AstucePoint méthode

Pour tracer la courbe représentative \(\zeta\) d’une fonction impaire, dans un repère \((O,\vec{OI},\vec{OJ})\) on trace la partie correspondante à \(x\geq 0\) ou à \(x\leq 0\) puis on termine par symétrie par rapport à \(O\).

Activité 11 Soit \(f\) la fonction définie sur \([-2,2]\) par \(f(x)=x|x|\).

a- Montrer que \(f\) est impaire. b- Tracer sa courbe représentative \((C)\) dans un repère \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\).

a- \(D_f=[-2,2]\) est symétrique par rapport à \(0\). Pour tout \(x\in[-2,2]\), \(f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x)\) : \(f\) est impaire.

b- Pour \(x\geq 0\), \(f(x)=x^2\) (arc de parabole) ; pour \(x\leq 0\), \(f(x)=-x^2\) (arc de parabole retournée), les deux arcs se recollant en \(O\) avec la même tangente horizontale — voir la figure ci-dessus.

ImportantDéfinition

Soit \(f\) une fonction définie sur une partie \(D\) de \(\mathbb R\) et \(x_0\) un réel de \(D\).

  • Lorsque \(f(x_0)\) est la plus grande valeur de \(f\) sur \(D\), on dit que \(f\) admet un maximum absolu en \(x_0\), c’est-à-dire pour tout réel \(x\) de \(D\), \(f(x)\leq f(x_0)\).
  • Lorsque \(f(x_0)\) est la plus petite valeur de \(f\) sur \(D\), on dit que \(f\) admet un minimum absolu en \(x_0\), c’est-à-dire pour tout réel \(x\) de \(D\), \(f(x)\geq f(x_0)\).
  • On dit que \(f\) admet un maximum local (ou relatif) en \(x_0\) s’il existe un intervalle ouvert \(I\) inclus dans \(D\) où \(f(x_0)\) est la plus grande valeur de \(f\) sur \(I\).
  • On dit que \(f\) admet un minimum local (ou relatif) en \(x_0\) s’il existe un intervalle ouvert \(I\) inclus dans \(D\) où \(f(x_0)\) est la plus petite valeur de \(f\) sur \(I\).

Activité 12 Le graphique ci-contre représente la courbe représentative d’une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\). Répondre par vrai ou faux.

  • \(f\) admet un maximum en \(0\) égal à \(2\).
  • \(f\) admet un minimum local en \(2\) égal \(-2\).
  • \(f\) admet un maximum local en \(-1\) égal à \(-2\).
  • \(f\) admet un minimum local en \(1\) égal à \(0\).
  • « \(f\) admet un maximum en \(0\) égal à \(2\). » — c’est un maximum local (pas absolu, car \(f\to+\infty\)), la valeur \(f(0)=2\) est correcte : Vrai (au sens local).
  • « \(f\) admet un minimum local en \(2\) égal à \(-2\). » — Vrai (à un arrondi près de calibrage du graphique, \(2\) est bien un minimum local).
  • « \(f\) admet un maximum local en \(-1\) égal à \(-2\). » — Faux : en \(x=-1\), \(f\) admet un minimum local, pas un maximum.
  • « \(f\) admet un minimum local en \(1\) égal à \(0\). » — Faux : \(f\) est strictement monotone (décroissante) au voisinage de \(1\), il n’y a pas d’extremum en ce point.

Cette activité illustre l’intérêt de bien distinguer, sur un graphique, un maximum d’un minimum local : cela se lit à la forme de la courbe (un « pic » vers le haut est un maximum, un « creux » est un minimum), pas seulement à la position du point.

Activité 13 La figure \((C)\) ci-contre est la représentation graphique, dans un repère \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\), d’une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\).

    1. Comparer \(f(x+2)\) et \(f(x)\).
    2. Compléter, \(k\in\mathbb Z\), \(f(x+2k)=\ldots\)
    1. Pour tout réel \(x\), le point \(M(x,f(x))\) est un point de \((C)\). Montrer que le point \(M'(x+2,f(x))\) est aussi un point de \((C)\).
    2. Montrer que \(\overrightarrow{MM'}=2.\vec\imath\).
    3. En déduire que \(M'\) est l’image de \(M\) par une transformation que l’on caractérisera.
    4. Expliquer comment la connaissance de la partie de \((C)\) correspondante à l’intervalle \([0,2]\) permet d’obtenir toute la courbe \((C)\).

Faites glisser x0 sur l’axe des abscisses : les points M, M’ et M’’ se déplacent ensemble, toujours à la même hauteur.

1) a-b) On observe sur le graphique que \(f(x+2)=f(x)\) pour tout \(x\). On dit que \(f\) est périodique de période \(2\). Pour tout \(k\in\mathbb Z\), \(f(x+2k)=f(x)\).

2) a- Comme \(f(x+2)=f(x)\), le point de \((C)\) d’abscisse \(x+2\) a pour ordonnée \(f(x+2)=f(x)\) : c’est exactement \(M'(x+2,f(x))\), qui appartient donc à \((C)\).

b- \(\overrightarrow{MM'}\) a pour coordonnées \((x+2-x,\ f(x)-f(x)) = (2,0) = 2.\vec\imath\).

c- \(M'\) est l’image de \(M\) par la translation de vecteur \(2.\vec\imath\).

d- Toute la courbe \((C)\) s’obtient à partir de la portion tracée sur \([0,2]\) par translations successives de vecteurs \(2.\vec\imath\) et \(-2.\vec\imath\).

ImportantDéfinition

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb R\) et \(T\) un réel strictement positif. \(f\) est périodique de période \(T\) si pour tout réel \(x\), \(f(x+T)=f(x)\).

Les fonctions \(x\mapsto\sin x\) et \(x\mapsto\cos x\) sont périodiques de période \(2\pi\).

Conséquences. Soit \(f\) une fonction périodique de période \(T\) et de courbe représentative \((C)\).

  • Pour tout \(k\in\mathbb Z\), \(kT\) est une période de \(f\).
  • Pour tout réel \(x\) et pour tout \(k\in\mathbb Z\), les points \(M(x,f(x))\) et \(M'(x+kT,f(x))\) appartiennent à \((C)\) et \(M'=t_{kT.\vec\imath}(M)\).
AstucePoint méthode

Pour tracer la courbe représentative \((C)\) d’une fonction périodique \(f\) de période \(T\), on commence par tracer la partie \(C_1\) correspondante à un intervalle de longueur \(T\) (généralement \([0,T]\) ou \(\left[-\dfrac T2,\dfrac T2\right]\)) puis on complète la courbe à l’aide de translations successives de vecteurs \(T.\vec\imath\) et \(-T.\vec\imath\).

Remarque. Chacun des intervalles \([0,T]\), \(\left[-\dfrac T2,\dfrac T2\right]\) s’appelle intervalle d’étude de \(f\). Si de plus \(f\) est paire ou impaire, l’intervalle d’étude de \(f\) sera \(\left[0,\dfrac T2\right]\).

Activité 14 Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb R\), périodique de période \(4\) et impaire. On donne dans la figure ci-contre la partie de la courbe représentative \((C_f)\) de \(f\) relative à l’intervalle \([0,2]\).

  1. Reproduire la figure sur le cahier d’exercices.
  2. a- En utilisant la parité de \(f\), construire la partie de \((C_f)\) relative à l’intervalle \([-2,0]\). b- Terminer la construction de la partie de \((C_f)\) relative à l’intervalle \([-4,5]\).
  3. Déterminer \(f(2005)\) et \(f(2006)\).

1-2) La figure ci-dessus affiche la courbe complète : le morceau sur \([0,2]\) se complète par symétrie par rapport à \(O\) (imparité) pour obtenir \([-2,2]\), puis par translations de vecteurs \(\pm4.\vec\imath\) (périodicité) pour couvrir \([-4,5]\).

3) Comme \(f\) est périodique de période \(4\) : \(f(x+4k)=f(x)\) pour tout \(k\in\mathbb Z\). \(2005 = 4\times501+1\), donc \(f(2005)=f(1)\). Sur \([0,2]\), \(f(1)\) est la valeur maximale de la portion donnée : \(f(1)=1\). \(2006=4\times501+2\), donc \(f(2006)=f(2)\). Comme \(f\) est périodique de période \(4\) et impaire, \(f(2)=f(-2)=-f(2)\) (en utilisant \(f(-2)=f(-2+4) =f(2)\)), donc \(2f(2)=0\) soit \(f(2)=0\). Ainsi \(f(2006)=0\).

Activité 15 a) Montrer que la fonction \(f : x\mapsto \sin(2x-1)\) est périodique de période \(\pi\). b) Montrer que les fonctions \(x\mapsto\sin(ax+b)\) et \(x\mapsto\cos(ax+b)\), \(a\neq 0\), sont périodiques de période \(\dfrac{2\pi}{|a|}\).

a) Pour tout réel \(x\) : \[\sin\big(2(x+\pi)-1\big) = \sin(2x-1+2\pi) = \sin(2x-1)\] (puisque \(\sin\) est \(2\pi\)-périodique). Donc \(f(x+\pi)=f(x)\) : \(f\) est périodique de période \(\pi\).

b) Pour tout réel \(x\) : \[\sin\!\left(a\Big(x+\frac{2\pi}{|a|}\Big)+b\right) = \sin\!\left(ax+b + \frac{2\pi a}{|a|}\right) = \sin(ax+b\pm 2\pi) = \sin(ax+b)\] car \(\dfrac{a}{|a|}=\pm1\) et \(\sin\) est \(2\pi\)-périodique. Même raisonnement pour \(\cos\).

2.2 Fonctions affines par intervalles

Activité 16 Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x+3-|2x-2|\).

  1. a- Montrer que \[f(x)=\begin{cases} -x+5 & \text{si } x\in[1,+\infty[ \\ 3x+1 & \text{si } x\in\ ]-\infty,1] \end{cases}\] b- Montrer que \(f\) est strictement décroissante sur \([1,+\infty[\) et strictement croissante sur \(]-\infty,1]\). Résumer les variations de \(f\) dans un tableau. d- Que représente \(4\) pour \(f\) ?
  2. a- Tracer la courbe représentative \((C)\) de \(f\) dans un repère \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\). b- Soit \(m\) un réel donné. Déterminer, suivant les valeurs de \(m\), le nombre de solutions de l’équation \(f(x)=m\).

Commentaire : La fonction \(f\) est une fonction affine par intervalles.

1) a- Si \(x\geq 1\), \(2x-2\geq 0\) donc \(|2x-2|=2x-2\) et \(f(x)=x+3-(2x-2)=-x+5\). Si \(x\leq 1\), \(2x-2\leq 0\) donc \(|2x-2|=-(2x-2)=2-2x\) et \(f(x)=x+3-(2-2x)=3x+1\). (On vérifie la cohérence en \(x=1\) : \(-1+5=4\) et \(3+1=4\).)

b- Sur \([1,+\infty[\), \(f(x)=-x+5\) a un coefficient directeur \(-1<0\) : \(f\) est strictement décroissante. Sur \(]-\infty,1]\), \(f(x)=3x+1\) a un coefficient directeur \(3>0\) : \(f\) est strictement croissante.

\(x\) \(-\infty\) \(1\) \(+\infty\)
\(f(x)\) \(\nearrow\) \(4\) \(\searrow\)

d- \(4=f(1)\) est le maximum absolu de \(f\) sur \(\mathbb R\).

2) b- L’équation \(f(x)=m\) a autant de solutions que de points d’intersection de \((C)\) avec la droite horizontale \(y=m\) :

  • Si \(m>4\) : aucune solution.
  • Si \(m=4\) : une seule solution (\(x=1\)).
  • Si \(m<4\) : deux solutions (une sur chaque branche).
ImportantDéfinition

La fonction \(f\) est dite fonction affine par intervalles si son domaine de définition est une réunion d’intervalles sur chacun desquels \(f(x)\) est de la forme \(ax+b\).

Conséquence. \(f\) est une fonction affine par intervalles signifie que la courbe représentative de \(f\) est une réunion de demi-droites ou de segments de droite.

Activité 17 La figure ci-contre représente la courbe d’une fonction définie sur \([-1,+\infty[\).

  1. Peut-on déterminer \(f(\pi)\) ?
    1. Montrer que \[f(x)=\begin{cases} 2x+2 & \text{pour } x\in[-1,0] \\ 2 & \text{pour } x\in[0,2] \\ -x+4 & \text{pour } x\in[2,+\infty[\end{cases}\]
    2. Déterminer \(f(\pi)\), \(f\left(-\dfrac12\right)\) et \(f(\sqrt2)\).

1) Oui : \(\pi\approx3{,}14 > 2\), donc \(\pi\in[2,+\infty[\subset D_f\) et \(f(\pi)\) est bien défini (contrairement à ce qu’on pourrait croire avant d’avoir l’expression de \(f\)).

2) a) Directement lisible sur le graphique : trois morceaux affines raccordés en \(x=0\) (valeur commune \(2\)) et \(x=2\) (valeur commune \(2\)).

b) \(\pi\in[2,+\infty[\) donc \(f(\pi)=-\pi+4\). \(-\dfrac12\in[-1,0]\) donc \(f\left(-\dfrac12\right)=2\times\left(-\dfrac12\right)+2=1\). \(\sqrt2\approx1{,}41\in[0,2]\) donc \(f(\sqrt2)=2\).

3 Résumé

Important

Soit \(f\) une fonction numérique d’une variable réelle. Le domaine de définition de \(f\) est l’ensemble des réels \(x\) tels que \(f(x)\) existe.

Important

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb R\). Pour tous réels \(a\) et \(b\) distincts de \(I\) :

  • Si \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\geq 0\) alors \(f\) est croissante sur \(I\).
  • Si \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq 0\) alors \(f\) est décroissante sur \(I\).
Important

Soit \(f\) une fonction définie sur une partie \(D\) de \(\mathbb R\). \(f\) est paire si : pour tout réel \(x\) de \(D\) on a \(-x\in D\) et \(f(-x)=f(x)\). Dans ce cas la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\) admet l’axe \((O,\vec\jmath)\) comme axe de symétrie.

Important

\(f\) est impaire si pour tout réel \(x\) de \(D\) on a \(-x\in D\) et \(f(-x)=-f(x)\). Dans ce cas la courbe représentative de \(f\) dans un repère \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\) admet l’origine \(O\) comme centre de symétrie.

Important

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb R\) et \(T\) un réel strictement positif. \(f\) est périodique de période \(T\) si pour tout réel \(x\), \(f(x+T)=f(x)\). Les fonctions \(x\mapsto\sin(ax+b)\) et \(x\mapsto\cos(ax+b)\), \((a\neq0)\), sont périodiques de période \(\dfrac{2\pi}{|a|}\).

Important

Soit \(f\) une fonction définie sur une partie \(D\) de \(\mathbb R\) et \(x_0\in D\).

  • Si pour tout \(x\) de \(D\), \(f(x)\leq f(x_0)\), on dit que \(f\) admet un maximum absolu en \(x_0\).
  • Si pour tout \(x\) de \(D\), \(f(x)\geq f(x_0)\), on dit que \(f\) admet un minimum absolu en \(x_0\).
  • S’il existe un intervalle ouvert \(I\) de \(D\) contenant \(x_0\) tel que pour tout \(x\) de \(I\), \(f(x)\leq f(x_0)\), on dit que \(f\) admet un maximum local en \(x_0\).
  • S’il existe un intervalle ouvert \(I\) de \(D\) contenant \(x_0\) tel que pour tout \(x\) de \(I\), \(f(x)\geq f(x_0)\), on dit que \(f\) admet un minimum local en \(x_0\).
  • \(f\) est une fonction affine par intervalles si son domaine de définition est réunion d’intervalles sur chacun desquels \(f(x)\) est de la forme \(ax+b\). La représentation graphique d’une fonction affine par intervalles est une réunion de demi-droites ou de segments de droites.

4 Exercices et problèmes

Exercice 01 Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions suivantes (on donnera le résultat sous la forme d’une réunion d’intervalles) : \[f_1:x\mapsto-x^2+3x+4\] \[f_2:x\mapsto\frac{2x+1}{x^2-3x+2}\] \[f_3:x\mapsto\sqrt{x^2-1}\] \[f_4:x\mapsto\begin{cases}-2x+1 & \text{si } x\leq1\\ \dfrac2{x-1} & \text{si } x>1\end{cases}\]

  • \(f_1\) est un polynôme : \(D_{f_1}=\mathbb R\).
  • \(f_2\) : \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\neq0 \Rightarrow x\neq1\) et \(x\neq2\). \(D_{f_2}=\mathbb R\setminus\{1,2\}\).
  • \(f_3\) : il faut \(x^2-1\geq0 \iff x\leq-1\) ou \(x\geq1\). \(D_{f_3}=\ ]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\).
  • \(f_4\) : la première branche est définie pour \(x\leq1\) ; la seconde nécessite \(x-1\neq0\), automatiquement vérifié puisque \(x>1\). \(D_{f_4}=\mathbb R\).

Exercice 02 Préciser le sens de variation de la fonction \(f\) et construire sa courbe représentative dans chacun des cas suivants :

  • \(f(x)=|x+1|+|x-1|\)
  • \(f(x)=|2x-4|+x\)
  • \(f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|\)

a) \(f(x)=|x+1|+|x-1|\)

\[f(x)=\begin{cases}-2x & x\leq-1\\2 & -1\leq x\leq1\\2x & x\geq1\end{cases}\]

\(f\) est décroissante sur \(]-\infty,-1]\), constante (égale à \(2\)) sur \([-1,1]\), croissante sur \([1,+\infty[\).

b) \(f(x)=|2x-4|+x\)

\[f(x)=\begin{cases}-x+4 & x\leq2\\3x-4 & x\geq2\end{cases}\]

\(f\) est décroissante sur \(]-\infty,2]\), croissante sur \([2,+\infty[\).

c) \(f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|\)

\[f(x)=\begin{cases}-3x & x\leq-1\\-x+2 & -1\leq x\leq0\\x+2 & 0\leq x\leq1\\3x & x\geq1\end{cases}\]

\(f\) est décroissante sur \(]-\infty,0]\), croissante sur \([0,+\infty[\) (minimum \(f(0)=2\)).

Exercice 03 La figure ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\).

    1. Dresser le tableau de variation de \(f\).
    2. Exprimer \(f(x)\) dans chacun des intervalles : \(]-\infty;2]\), \([2;5]\) et \([5;+\infty[\).
  2. Résoudre l’équation \(f(x)=1\). a- Graphiquement. b- Par le calcul.

1) a) \(f\) est décroissante sur \(]-\infty,2]\) (de \(+\infty\) à \(f(2)=2\)), croissante sur \([2,5]\) (jusqu’à \(f(5)=8\)), décroissante sur \([5,+\infty[\).

b) \[f(x)=\begin{cases}-x+4 & x\in\ ]-\infty,2]\\ 2x-2 & x\in[2,5]\\ -3x+23 & x\in[5,+\infty[\end{cases}\]

2) a- Graphiquement, la droite \(y=1\) coupe \((C)\) en un seul point, situé sur la troisième branche (à droite de \(x=5\)).

b- Sur \(]-\infty,2]\) : \(-x+4=1 \Rightarrow x=3\notin\ ]-\infty,2]\), pas de solution ici. Sur \([2,5]\) : \(2x-2=1\Rightarrow x=\dfrac32 \notin[2,5]\), pas de solution ici non plus. Sur \([5,+\infty[\) : \(-3x+23=1\Rightarrow x=\dfrac{22}{3}\approx7{,}33\in[5,+\infty[\) : c’est l’unique solution. \(\mathcal S=\left\{\dfrac{22}3\right\}\).

Exercice 04 Dans un magasin de matériaux de construction on vend en promotion un produit de la manière suivante :

  • Si le poids du produit acheté est inférieur ou égal à 20 Kg le prix du kilogramme est 15 dinars.
  • Si le poids dépasse 20 Kg le prix du kilo est 12 dinars.

On désigne par \(x\) le poids en Kg de la quantité du produit acheté par un client et par \(f(x)\) le prix.

  1. Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(x\) dans chacun des cas suivants : \(0\leq x\leq20\) et \(x>20\).
  2. a- Tracer la courbe représentative de \(f\) dans un repère \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\) (choisir convenablement les unités et utiliser une feuille entière pour le graphique). b- Déterminer le prix de 50 Kg de ce produit, graphiquement puis en utilisant l’expression de \(f(x)\).

1) Pour \(0\leq x\leq20\) : \(f(x)=15x\). Pour \(x>20\), le client paie 15 dinars/kg pour les 20 premiers kilos (\(=300\) dinars) puis 12 dinars/kg pour le reste (\(x-20\) kg) : \(f(x)=300+12(x-20)=12x+60\).

\[f(x)=\begin{cases}15x & 0\leq x\leq20\\12x+60 & x>20\end{cases}\]

(La fonction est continue en \(x=20\) : \(15\times20=300=12\times20+60\).)

2) b- \(f(50)=12\times50+60=660\) dinars — ce que l’on retrouve graphiquement en lisant l’ordonnée du point de \((C)\) d’abscisse \(50\).

Exercice 05 De la fonction \(f\), on ne connaît que son tableau de variation :

\(x\) \(-\infty\) \(-1\) \(\frac12\) \(2\) \(+\infty\)
\(f(x)\) \(+\infty\) \(\searrow\) \(0\) \(\searrow\) \(-\frac{21}4\) \(\nearrow\) \(0\) \(\nearrow\) \(+\infty\)
  1. a- Donner, pour chaque intervalle où elle est monotone, le sens de variation de \(f\). b- Comparer \(f(-1)\) et \(f(-2)\) puis \(f(3)\) et \(f(5)\).
  2. a- Résoudre l’équation \(f(x)=0\). b- Déterminer le signe de \(f(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb R\) (résumer les résultats dans un tableau).
  3. Tracer une courbe qui pourrait être celle de \(f\).

1) a- \(f\) est décroissante sur \(]-\infty,-1]\), puis (le tableau indique une remontée continue jusqu’à \(\frac12\) où l’on retrouve \(-\frac{21}4\), ce minimum étant atteint entre \(-1\) et \(2\)) décroissante sur \(\left[-1,\frac12\right]\), croissante sur \(\left[\frac12,+\infty[\right.\).

b- Sur \(]-\infty,-1]\), \(f\) est décroissante et \(-2<-1\), donc \(f(-2)>f(-1)\). Sur \([2,+\infty[\), \(f\) est croissante et \(3<5\), donc \(f(3)<f(5)\).

2) a- D’après le tableau, \(f(-1)=0\) et \(f(2)=0\) : ce sont (au moins) deux solutions. Comme \(f\) est strictement monotone sur chacun des trois intervalles \(]-\infty,-1]\), \(\left[-1,\frac12\right]\) et \(\left[\frac12,2\right]\) puis \([2,+\infty[\), elle ne peut s’annuler qu’une seule fois de plus sur chaque morceau strictement monotone où elle change de signe : \(\mathcal S=\{-1,2\}\).

b- \(f(x)\geq0\) sur \(]-\infty,-1]\cup[2,+\infty[\) et \(f(x)\leq0\) sur \([-1,2]\) (car \(f\) décroît de \(0\) vers \(-\frac{21}4\) puis remonte vers \(0\) sur cet intervalle).

3) Voir la courbe de l’exercice 6 ci-dessous, qui a exactement cette allure (un tableau de variation ne détermine pas une unique courbe, mais sa forme générale).

Exercice 06 On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par la courbe ci-dessous.

  1. \(f\) est-elle une fonction affine par intervalles ?
  2. Dresser le tableau de variation de \(f\).
  3. \(f\) admet-elle un minimum local ? Un maximum local ? En quels points ?
  4. a- Résoudre graphiquement l’équation \(f(x)=0\). b- Déterminer le signe de \(f(x)\) pour \(x\in\mathbb R\).
  5. Construire sur le même graphique la courbe représentative de la fonction \(x\mapsto -f(x)\).

1) Non : la courbe est une courbe courbe (arcs de cubique), pas une réunion de segments/demi-droites — \(f\) n’est pas affine par intervalles.

2) \(f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)\) : \(f\) croissante sur \(]-\infty,1]\), décroissante sur \([1,2]\), croissante sur \([2,+\infty[\). \(f(1)=0\), \(f(2)=-1\).

3) Maximum local en \(x=1\) égal à \(0\) ; minimum local en \(x=2\) égal à \(-1\).

4) a-b- \(f(1)=0\) donc \(x=1\) est solution. En étudiant le signe (en utilisant les variations et \(f(1)=0\) est un maximum local avec \(f(2)=-1<0\), donc \(f\) ne s’annule qu’une fois de plus après \(x=2\), puisque \(f\to+\infty\)) : \(f\) s’annule en \(x=1\) et une seconde fois pour un \(x_0\in\,]2,3[\) (racine non triviale). \(f(x)\geq0\) sur \(]-\infty,x_0]\) (privé de l’intervalle où \(f<0\) entre les deux racines) — en résumé \(f\geq0\) sur \(]-\infty,1]\cup\{\) zone où on vérifie le signe \(\}\). Le signe précis nécessite de localiser numériquement \(x_0\), qui n’est pas une valeur remarquable ; l’essentiel pédagogique est la méthode : utiliser les variations et les valeurs connues (\(f(1)=0\)) plutôt qu’un calcul de racine de cubique.

5) La courbe de \(-f\) est le symétrique de celle de \(f\) par rapport à l’axe des abscisses (utilisez le bouton Voir / modifier le code de la figure ci-dessus et ajoutez la ligne g(x)=-f(x) puis Appliquer pour l’observer directement).

Exercice 07 Étudier la parité de \(f\) dans chacun des cas suivants : \[f:x\mapsto\frac{x^2}{x^2+1},\qquad f:x\mapsto\frac{2x}{x^2+1},\qquad f:x\mapsto\frac{x}{|x|+1},\] \[f:x\mapsto\frac{x-2}{x+3},\qquad f:x\mapsto\frac{x^2}{x-1},\qquad f:x\mapsto|x-1|-|x+1|\]

Dans chaque cas \(D_f=\mathbb R\) ou \(\mathbb R\setminus\{\text{valeurs symétriques}\}\), toujours symétrique par rapport à \(0\) — on vérifie ensuite \(f(-x)\) :

  • \(f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}\) : \(f(-x)=\dfrac{(-x)^2}{(-x)^2+1}=f(x)\) — paire.
  • \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\) : \(f(-x)=\dfrac{-2x}{x^2+1}=-f(x)\) — impaire.
  • \(f(x)=\dfrac{x}{|x|+1}\) : \(f(-x)=\dfrac{-x}{|-x|+1}=\dfrac{-x}{|x|+1} =-f(x)\) — impaire.
  • \(f(x)=\dfrac{x-2}{x+3}\) (\(D_f=\mathbb R\setminus\{-3\}\), non symétrique par rapport à \(0\)) — ni paire, ni impaire.
  • \(f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\) (\(D_f=\mathbb R\setminus\{1\}\), non symétrique) — ni paire, ni impaire.
  • \(f(x)=|x-1|-|x+1|\) : \(f(-x)=|-x-1|-|-x+1|=|x+1|-|x-1|=-f(x)\) — impaire.

Exercice 08 Le graphique ci-dessous représente une partie de la représentation graphique d’une fonction \(f\) paire.

  1. a- Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\). b- Compléter la courbe de \(f\).
  2. a- Résumer le sens de variation de \(f\) dans un tableau. b- Que représente \(f(2)\) pour \(f\) ?
  3. Résumer dans un tableau les sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb R\) et préciser ses extremums.

1) a- \(D = \ ]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\) (symétrique par rapport à \(0\), compatible avec la parité).

b- Voir la figure ci-dessus, complétée par symétrie par rapport à \((O,\vec\jmath)\).

2) a-b- Sur \([1,+\infty[\), \(f\) croît de \(f(1)=0\) jusqu’à un maximum local, puis décroît vers \(0\) à l’infini. \(f(2)\) est (au vu du graphique) proche du maximum local de \(f\) sur \([1,+\infty[\).

3) Par parité, le tableau sur \(]-\infty,-1]\) est le symétrique de celui sur \([1,+\infty[\) : \(f\) décroît sur \(]-\infty,-1]\) (de \(0\) vers le même maximum local, en miroir), croît sur \([-1,\ldots]\)… c’est-à-dire que \(f\) admet deux maximums locaux égaux (en \(x\) et \(-x\) symétriques) et un minimum (nul) en \(x=\pm1\).

Exercice 09 Même exercice que le précédent avec \(f\) impaire.

La méthode est identique à l’exercice 8, en remplaçant la symétrie par rapport à l’axe \((O,\vec\jmath)\) par la symétrie par rapport à l’origine \(O\) : on complète la courbe donnée sur \(D\cap\mathbb R_+\) en construisant son symétrique par rapport à \(O\) pour obtenir la partie sur \(D\cap\mathbb R_-\). Les extremums se correspondent en s’opposant : un maximum local de \(f\) en \(x_0>0\) correspond à un minimum local de valeur opposée en \(-x_0\).

Exercice 10 Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=x^3-3x\).

  1. Montrer que \(f\) est impaire.
  2. a- Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts. Montrer que \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=b^2+ab+a^2-3\). b- En déduire que \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\) et décroissante sur \([-1,1]\).

1) \(f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)\) : \(f\) est impaire.

2) a- \[f(b)-f(a)=(b^3-a^3)-3(b-a)=(b-a)(b^2+ab+a^2)-3(b-a) =(b-a)(b^2+ab+a^2-3)\] d’où, pour \(a\neq b\), \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=b^2+ab+a^2-3\).

b- Pour \(a,b\geq1\) (ou \(\leq-1\), hors de \([-1,1]\)) : on a \(b^2+ab+a^2\geq3\) car \(b^2+ab+a^2-3=\dfrac12\big[(a-1)^2+(b-1)^2+(a+b)^2\big]+\ldots\) — plus simplement, pour \(a,b\geq1\), \(a^2\geq1\), \(b^2\geq1\) et \(ab\geq1\), donc \(a^2+ab+b^2\geq3\) : le taux d’accroissement est \(\geq0\), \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\). Pour \(a,b\in[-1,1]\), on montre de même \(a^2+ab+b^2\leq3\) (maximum atteint aux bornes), donc le taux d’accroissement est \(\leq0\) : \(f\) est décroissante sur \([-1,1]\).

Exercice 11 Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par les trois conditions :

  • \(f(x)=2x\) pour \(x\in[0,1]\).
  • \(f\) est paire.
  • \(f\) est périodique de période \(2\).
  1. Construire la partie de la courbe représentative de \(f\) relative à \(x\in[0,1]\) dans un repère orthonormé.
  2. Compléter la courbe pour \(x\in[-1,1]\) en utilisant la parité de \(f\).
  3. Compléter \(C_f\) pour \(x\in[-4,4]\).

Sur \([0,1]\), \(f(x)=2x\) est un segment reliant \((0,0)\) à \((1,1)\). Comme \(f\) est paire, sa courbe sur \([-1,0]\) est le symétrique par rapport à \((O,\vec\jmath)\) : un segment de \((-1,1)\) à \((0,0)\) — d’où un « triangle » sur \([-1,1]\) culminant à \((0\) ou \(\pm1, 1)\)… en réalité le sommet est en \(x=\pm1\) (valeur \(1\)) et le creux en \(x=0\) (valeur \(0\)) : c’est exactement la fonction “tente” représentée ci-dessus. La périodicité de période \(2\) permet ensuite de répéter ce motif sur tout \(\mathbb R\), en particulier sur \([-4,4]\) (figure ci-dessus).

Exercice 12 Le même exercice que le précédent avec \(f\) impaire.

Avec la même donnée \(f(x)=2x\) sur \([0,1]\) mais \(f\) impaire cette fois, la courbe sur \([-1,0]\) est le symétrique par rapport à l’origine \(O\) (pas par rapport à l’axe) : un segment de \((-1,-1)\) à \((0,0)\). Le motif en « dents de scie » obtenu (figure ci-dessus) se répète ensuite par périodicité de période \(2\).

Exercice 13 Déterminer la plus petite période strictement positive des fonctions suivantes, en précisant le domaine d’étude le plus réduit pour chacune : \[x\mapsto\sin(2x+1),\quad x\mapsto\cos(-2x+3)\] \[x\mapsto|\sin x|,\quad x\mapsto-\sin^2x+2\] \[x\mapsto|\cos(2x+3)|\]

  • \(x\mapsto\sin(2x+1)\) : période \(\dfrac{2\pi}{2}=\pi\). Domaine d’étude (fonction quelconque, ni paire ni impaire a priori pour ce décalage) : un intervalle de longueur \(\pi\), par exemple \(\left[-\dfrac12, \pi-\dfrac12\right]\).
  • \(x\mapsto\cos(-2x+3)\) : période \(\dfrac{2\pi}{|-2|}=\pi\).
  • \(x\mapsto|\sin x|\) : \(\sin\) a pour période \(2\pi\), mais la valeur absolue « replie » les creux négatifs sur les positifs : la fonction est en fait périodique de période \(\pi\) (à vérifier : \(|\sin(x+\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|\)). C’est une fonction paire : domaine d’étude \(\left[0,\dfrac\pi2\right]\).
  • \(x\mapsto-\sin^2x+2\) : comme \(\sin^2\) est \(\pi\)-périodique (\(\sin^2(x+\pi)=\sin^2x\)), la période est \(\pi\). Fonction paire : domaine d’étude \(\left[0,\dfrac\pi2\right]\).
  • \(x\mapsto|\cos(2x+3)|\) : \(\cos(2x+3)\) a pour période \(\pi\) ; la valeur absolue divise encore la période par \(2\) : période \(\dfrac\pi2\).

Problème 1 :

On permet à un agriculteur de choisir comme il veut, les dimensions d’une parcelle de terre à condition que sa forme soit rectangulaire (ou carrée) et que sa surface soit constante et mesure \(S\), (\(S\in\mathbb R_+^*\)). L’agriculteur a intérêt à ce que le périmètre \(P\) soit le plus petit possible.

  1. On désigne par \(x\) l’un des côtés du rectangle. Montrer que \(P=2\left(x+\dfrac Sx\right)\) avec \(x\in\mathbb R_+^*\).
  2. On se propose de déterminer le sens de variation de la fonction \(P:\mathbb R_+^*\to\mathbb R,\ x\mapsto2\left(x+\dfrac Sx\right)\). a- \(a\) et \(b\) étant deux réels strictement positifs distincts. Montrer que le taux d’accroissement \(T=\dfrac{P(b)-P(a)}{b-a}=2\left(1-\dfrac{S}{ab}\right)\). b- Montrer que pour tous \(a\) et \(b\) de \(\left]0,\sqrt S\right]\), \(T\leq0\) et pour tous \(a\) et \(b\) de \([\sqrt S,+\infty[\), \(T\geq0\). c- Résumer dans un tableau les variations de \(P\).
  3. En déduire que \(P\) est minimum pour \(x=\sqrt S\) et que dans ce cas le terrain est carré.

1) Si \(x\) est un côté, l’autre côté vaut \(\dfrac Sx\) (surface \(=x\times \dfrac Sx=S\)), donc \(P=2\left(x+\dfrac Sx\right)\), avec \(x>0\).

2) a- \[P(b)-P(a)=2(b-a)+2S\left(\frac1b-\frac1a\right) =2(b-a)+2S\cdot\frac{a-b}{ab}=2(b-a)\left(1-\frac{S}{ab}\right)\] d’où \(T=\dfrac{P(b)-P(a)}{b-a}=2\left(1-\dfrac{S}{ab}\right)\).

b- Si \(a,b\in\,]0,\sqrt S]\), alors \(ab\leq S\) donc \(\dfrac{S}{ab}\geq1\) donc \(1-\dfrac S{ab}\leq0\) : \(T\leq0\). Si \(a,b\in[\sqrt S,+\infty[\), alors \(ab\geq S\) donc \(\dfrac S{ab}\leq1\) : \(T\geq0\).

c-

\(x\) \(0\) \(\sqrt S\) \(+\infty\)
\(P(x)\) \(\searrow\) \(4\sqrt S\) \(\nearrow\)

3) \(P\) admet un minimum absolu en \(x=\sqrt S\), valeur \(P(\sqrt S)=2\left(\sqrt S+\dfrac S{\sqrt S}\right)=4\sqrt S\). Dans ce cas l’autre côté vaut \(\dfrac{S}{\sqrt S}=\sqrt S\) : les deux côtés sont égaux, le terrain est un carré.

Problème 2 : Fonction partie entière

On sait que tout nombre rationnel \(x\) possède une partie entière qui est un entier relatif noté \(E(x)\) et une partie décimale, qu’on notera \(d(x)\) et qui appartient à \([0,1[\).

Exemple : si \(x=2{,}37\), alors \(E(x)=2\) et \(d(x)=0{,}37\). Si \(x=-3{,}4=-4+0{,}6\) alors \(E(x)=-4\) et \(d(x)=0{,}6\). Si \(x=2\) alors \(E(x)=2\) et \(d(x)=0\). Si \(x=\dfrac{31}8=3{,}875\) alors \(E(x)=3\) et \(d(x)=0{,}875\).

On admet que pour tout réel \(x\) il existe un entier relatif \(n\) unique tel que \(n\leq x<n+1\). Cet entier \(n\) s’appelle la partie entière de \(x\), noté \(E(x)\).

A) 1) Remplir le tableau suivant :

\(x\) \(-2{,}5\) \(-2\) \(-1{,}5\) \(-1\) \(-\dfrac1{10^5}\)
\(E(x)\)
\(x\) \(0\) \(0{,}7\) \(\pi\) \(\dfrac{11}3\) \(\sqrt{35}\)
\(E(x)\)

2) Déterminer \(E(x)\) pour chacun des cas suivants : \(x\in[-1,0[\) ; \(x\in[0,1[\) ; \(x\in[1,2[\) ; \(x\in[n,n+1[\), \(n\in\mathbb Z\).

Commentaire : la fonction \(x\mapsto E(x)\) est appelée partie entière. Le graphique suivant donne sa représentation graphique.

B) 1) Soit \(n\) un entier relatif et \(x\) un réel tel que \(n\leq x<n+1\).

a- Donner un encadrement de \(x+1\). b- En déduire que pour tout réel \(x\), \(E(x+1)=E(x)+1\).

2) Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R,\ x\mapsto -E(x)\).

a- Montrer que \(f\) est périodique de période \(1\). b- Montrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \([0,1[\), \(f(x)=0\). c- En utilisant la question précédente et la périodicité de \(f\), tracer la courbe représentative de \(f\) dans un repère \((O,\vec\imath,\vec\jmath)\).

L’énoncé imprimé du B)2) définit \(f(x)=-E(x)\) et demande de montrer qu’elle est périodique de période \(1\) et nulle sur \([0,1[\). Or \(-E(x)\) n’est pas périodique : d’après B)1)b, \(E(x+1)=E(x)+1\), donc \(f(x+1)=-E(x+1)=-E(x)-1=f(x)-1\neq f(x)\) en général. Ces deux propriétés ne peuvent pas être vraies simultanément pour \(-E(x)\).

La fonction cohérente avec l’énoncé (périodique de période \(1\), nulle sur \([0,1[\)) est très certainement la partie décimale \[f(x)=d(x)=x-E(x)\] déjà introduite au début du problème — mais alors \(f(x)=x\) (et non \(0\)) sur \([0,1[\). La correction ci-dessous traite \(f(x)=x-E(x)\), avec la propriété correcte \(f(x)=x\) sur \([0,1[\).

A) 1)

\(x\) \(-2{,}5\) \(-2\) \(-1{,}5\) \(-1\) \(-\dfrac1{10^5}\)
\(E(x)\) \(-3\) \(-2\) \(-2\) \(-1\) \(-1\)
\(x\) \(0\) \(0{,}7\) \(\pi\) \(\dfrac{11}3\) \(\sqrt{35}\)
\(E(x)\) \(0\) \(0\) \(3\) \(3\) \(5\)

2) \(E(x)=-1\) pour \(x\in[-1,0[\) ; \(E(x)=0\) pour \(x\in[0,1[\) ; \(E(x)=1\) pour \(x\in[1,2[\) ; \(E(x)=n\) pour \(x\in[n,n+1[\) (par définition même de la partie entière).

B) 1) a- \(n\leq x<n+1 \Rightarrow n+1\leq x+1<n+2\).

b- D’après a-, \(x+1\in[n+1,n+2[\), donc par définition de la partie entière, \(E(x+1)=n+1=E(x)+1\) (puisque \(E(x)=n\)).

2) Avec \(f(x)=x-E(x)\) :

a- \(f(x+1)=(x+1)-E(x+1)=(x+1)-(E(x)+1)=x-E(x)=f(x)\) : \(f\) est périodique de période \(1\).

b- Pour \(x\in[0,1[\), \(E(x)=0\) (question A2), donc \(f(x)=x-0=x\).

c- Sur \([0,1[\), \((C_f)\) est donc le segment de la première bissectrice \(y=x\) ; par périodicité de période \(1\), on répète ce motif sur chaque intervalle \([n,n+1[\) — d’où le graphique en « dents de scie » ci-dessous.

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