Chapitre 1 — Angles

1ère année secondaire — Manuel CNP — Travaux géométriques

AstuceDans ce chapitre
  • Reprendre — un QCM de révision sur les angles.
  • Découvrir — 12 activités, chacune avec une figure GeoGebra interactive (les points bleus se déplacent à la souris ou au doigt : observez ce qui change… et ce qui ne change pas).
  • Retenir — les propriétés des angles formés par deux parallèles et une sécante, et la relation angle inscrit / angle au centre.
  • Mobiliser ses compétences, S’auto-évaluer, Exercices et problèmes, Avec l’ordinateur, Math culture.

1 Reprendre

QCM de révision

Pour chaque énoncé, on propose trois réponses A, B et C. Une ou plusieurs sont correctes.

  1. Dans une figure où \(A\) et \(B\) sont proches l’un de l’autre sur deux demi-droites issues de \(O\), et \(C\) sur une troisième demi-droite :
  • A. l’angle \(\widehat{AOB}\) est aigu.
  • B. l’angle \(\widehat{AOB}\) est obtus.
  • C. l’angle \(\widehat{BOC}\) est obtus.
  1. \((AE) \parallel (BF)\), une sécante coupe \((AE)\) en \(K/A\) et \((BF)\) en \(B\) :
  • A. les angles \(\widehat{KAE}\) et \(\widehat{KBF}\) sont égaux.
  • B. ils sont alternes-internes.
  • C. ils sont correspondants.
  1. Trois demi-droites \([Ot)\), \([OS)\), \([OK)\) issues de \(O\) :
  • A. les angles \(\widehat{SOt}\) et \(\widehat{tOK}\) sont adjacents.
  • B. \([Ot)\) est la bissectrice de \(\widehat{SOK}\).
  • C. \(\widehat{SOt}\) et \(\widehat{tOK}\) sont supplémentaires.
  1. \(ABCD\) est un parallélogramme :
  • A. les angles \(\widehat{BAD}\) et \(\widehat{BCD}\) sont supplémentaires.
  • B. \(\widehat{ABD}\) et \(\widehat{BCD}\) sont correspondants.
  • C. \(\widehat{DBA}\) et \(\widehat{BCD}\) sont égaux.
  1. Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et les angles consécutifs sont supplémentaires : \(\widehat{BAD}\) et \(\widehat{BCD}\) sont opposés donc égaux, pas supplémentaires — seule la proposition C est vraie (\(\widehat{DBA}=\widehat{BCD}\) résulte de l’égalité des angles alternes-internes si l’on trace la diagonale \((BD)\), sécante commune à \((AD)\parallel(BC)\)).
  2. B et C décrivent la même paire d’angles sous deux noms différents selon la position exacte de \(K\) : lisez la figure de votre manuel pour trancher entre alterne-interne et correspondant.
  3. Pour les angles adjacents/bissectrice/supplémentaires : cela dépend des mesures exactes lues sur la figure du manuel (non reproduites ici).

2 Découvrir

2.1 Angles et figures de base

Activité 1

  1. On considère la figure ci-contre. Montrer que \(\widehat{CAB}+\widehat{ABC}=\widehat{ACD}\).
  2. Que vaut \(\widehat{ACD}\) lorsque le triangle \(ABC\) est équilatéral ?
  3. Que vaut \(\widehat{ACD}\) lorsque le triangle \(ABC\) est rectangle isocèle en \(B\) ?
  4. On suppose que le triangle \(ABC\) est isocèle en \(C\). Écrire \(\widehat{ACD}\) en fonction de \(\widehat{ABC}\).
  1. Dans le triangle \(ABC\) : \(\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=180°\). Comme \(B,C,D\) sont alignés, \(\widehat{BCA}+\widehat{ACD}=180°\) (angles supplémentaires). En combinant : \(\widehat{ACD}=180°-\widehat{BCA}=\widehat{CAB}+\widehat{ABC}\). (C’est le théorème de l’angle extérieur : un angle extérieur d’un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents.)
  2. Équilatéral : \(\widehat{CAB}=\widehat{ABC}=60°\), donc \(\widehat{ACD}=120°\).
  3. Rectangle isocèle en \(B\) : \(\widehat{ABC}=90°\), et \(\widehat{CAB}=\widehat{BCA}=45°\) (base d’un triangle isocèle rectangle), donc \(\widehat{ACD}=45°+90°=135°\).
  4. Isocèle en \(C\) : \(CA=CB\) donc \(\widehat{CAB}=\widehat{ABC}\) (angles à la base), donc \(\widehat{ACD}=2\times\widehat{ABC}\).

Activité 2

  1. Dans la figure ci-contre, \(ABC\) est un triangle de périmètre 13 cm ; les triangles \(EBA\) et \(ACF\) sont isocèles respectivement en \(B\) et \(C\).
    1. Que vaut \(\widehat{AEB}\) ? b) Que vaut \(\widehat{AFC}\) ? c) Calculer \(EF\).
  2. On se propose de construire un triangle \(ABC\) de périmètre 13 cm dont deux angles valent 72° et 66°.
    1. Tracer \(AEF\) tel que \(EF=13\) cm, \(\widehat{AEF}=36°\) et \(\widehat{AFC}=33°\).
    2. Placer sur \([EF]\) les points \(B\) et \(C\) tels que \(BE=BA\) et \(CF=CA\).
    3. Vérifier que le triangle \(ABC\) convient.

Déplacez le point A : les points E et F se recalculent automatiquement pour garder \(EB=BA\) et \(FC=CA\) (triangles isocèles).

    1. \(EBA\) isocèle en \(B\) : ses angles à la base (\(\widehat{AEB}\) et \(\widehat{EAB}\)) sont égaux. Comme \(\widehat{EBA}=180°-\widehat{ABC}\) (angles supplémentaires, \(E,B,C\) alignés), on obtient \(\widehat{AEB}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\).
  1. De même, \(\widehat{AFC}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\).
  2. \(EF=EB+BC+CF=BA+BC+CA=\) périmètre de \(ABC\) \(=13\) cm : c’est l’idée clé de la construction (2.).
  1. C’est la réciproque de (1.) : on construit d’abord le grand triangle \(AEF\) isocèle (via les demi-angles 36° et 33°, soit le double des angles visés 72°/2=36° et 66°/2=33°), puis \(B\) et \(C\) sur \([EF]\) redonnent exactement les bons angles en \(A\) pour \(ABC\), avec \(EF=13\) cm imposant le bon périmètre.

Activité 3

Dans la figure ci-contre, \(ABCD\) est un carré et \(BCE\) est un triangle équilatéral.

  1. Quelle est la nature du triangle \(DCE\) ?
  2. Que vaut \(\widehat{CED}\) ? \(\widehat{AED}\) ?
  3. Donner la mesure de chacun des angles de la figure.
  1. \(DC=CE\) (côté du carré = côté du triangle équilatéral) et \(\widehat{DCE}=\widehat{DCB}+\widehat{BCE}=90°+60°=150°\) : le triangle \(DCE\) est isocèle en \(C\), d’angle au sommet \(150°\).
  2. Ses angles à la base valent \(\dfrac{180°-150°}{2}=15°\) : \(\widehat{CED}=\widehat{CDE}=15°\). Pour \(\widehat{AED}\) : le triangle \(ABE\) est isocèle en \(B\) (\(BA=BE=\) côté du carré), d’angle au sommet \(\widehat{ABE}=\widehat{ABC}+\widehat{CBE}=90°+60°=150°\), donc \(\widehat{AEB}=15°\) aussi. Les angles \(\widehat{AEB}\), \(\widehat{BEC}=60°\) et \(\widehat{CED}=15°\) se juxtaposent autour de \(E\) : \(\widehat{AED}=15°+60°+15°=90°\).
  3. Carré : 90° partout. Triangle \(BCE\) : 60° partout. Triangles \(ABE\) et \(DCE\) : 150° (sommet) et 15°, 15° (base) chacun. \(\widehat{AED}=90°\).

Activité 4

Dans la figure ci-contre, \(ABCD\) est un carré de côté \(a\), \(DCE\) et \(BCF\) sont des triangles équilatéraux. \(H\) et \(H'\) sont les projetés orthogonaux respectifs de \(E\) sur les droites \((DC)\) et \((AB)\).

  1. Quelle est la nature de chacun des triangles \(ADE\) et \(FCE\) ?
  2. Montrer que les points \(A\), \(E\) et \(F\) sont alignés.
  3. Exprimer en fonction de \(a\) les distances \(EF\), \(EH\), \(EH'\), \(AE\) et \(AF\).
  1. \(AD=DE=a\) et \(\widehat{ADE}=\widehat{ADC}-\widehat{EDC}=90°-60°=30°\) : \(ADE\) est isocèle en \(D\) (angle au sommet 30°, base \(75°/75°\)). \(CF=CE=a\) (côtés des deux triangles équilatéraux) et \(\widehat{FCE}=(\widehat{DCB}+\widehat{BCF})-\widehat{DCE}=(90°+60°)-60°=90°\) : \(FCE\) est isocèle rectangle en \(C\).
  2. Les angles à la base donnent \(\widehat{DEA}=75°\) (triangle \(ADE\)), \(\widehat{DEC}=60°\) (équilatéral) et \(\widehat{CEF}=45°\) (triangle \(FCE\), isocèle rectangle). Leur somme \(75°+60°+45°=180°\) : les points \(A\), \(E\), \(F\) sont donc alignés (angles formant un angle plat en \(E\)).
  3. Avec les triangles isocèles ci-dessus : \(EH=a\sin 60°=\dfrac{a\sqrt3}{2}\), \(EH'=a-EH=a\left(1-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\), \(AE=2a\sin15°\), \(EF=a\sqrt2\) (diagonale du carré isocèle rectangle \(FCE\)), et \(AF=AE+EF\) (car \(E\in[AF]\)).

2.2 Angles égaux et droites parallèles

Activité 5

Dans la figure ci-contre, \(C'\) est le milieu de \([AB]\) et \(B'\) est le milieu de \([AC]\). Calculer tous les angles de la figure.

\((C'B')\) est la droite des milieux du triangle \(ABC\) (elle joint les milieux de \([AB]\) et \([AC]\)) : elle est donc parallèle à \((BC)\). Comme \((C'B')\parallel(BC)\) avec la sécante \((AB)\), les angles correspondants sont égaux : \(\widehat{AC'B'}=\widehat{ABC}\). De même, avec la sécante \((AC)\) : \(\widehat{AB'C'}=\widehat{ACB}\). Avec les valeurs du manuel (\(\widehat{ABC}=50°\), \(\widehat{BAC}=42°\), donc \(\widehat{ACB}=180°-50°-42°=88°\)) : \(\widehat{AC'B'}=50°\) et \(\widehat{AB'C'}=88°\) (le triangle \(AC'B'\) a les mêmes angles que \(ABC\) : il lui est semblable, réduit de moitié).

Activité 6

On considère deux droites parallèles \((xx')\) et \((yy')\). Une droite \(D\) est sécante à \((xx')\) et \((yy')\) respectivement en \(A\) et \(B\). On désigne par \(B'\) le projeté orthogonal de \(B\) sur \((xx')\).

  1. Montrer que les angles intérieurs \(\widehat{xAB}\) et \(\widehat{yBA}\) sont supplémentaires.
  2. Montrer que les angles alternes-internes \(\widehat{xAB}\) et \(\widehat{y'BA}\) sont égaux.
  3. Montrer que les angles correspondants \(\widehat{xAB}\) et \(\widehat{yBC}\) sont égaux.

A et B sont déplaçables le long de leurs droites respectives : faites glisser la sécante et observez que les angles marqués restent liés par les mêmes relations.

Ces trois résultats sont précisément les propriétés énoncées dans le Retenir ci-dessous : deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles intérieurs de même côté supplémentaires, des angles alternes-internes égaux et des angles correspondants égaux. Utilisez la figure interactive (rapporteur virtuel : faites glisser \(A\) ou \(B\)) pour vérifier numériquement ces trois égalités avant la démonstration rigoureuse, qui utilise la perpendiculaire \((BB')\) comme axe de symétrie auxiliaire.

Activité 7

On considère une droite \(D\) et deux droites \((xx')\) et \((yy')\) sécantes à \(D\), respectivement en \(A\) et \(B\). On désigne par \(B'\) le projeté orthogonal de \(B\) sur \((xx')\). On suppose que les angles \(\widehat{xAB}\) et \(\widehat{yBA}\) sont supplémentaires.

  1. Que peut-on dire des angles \(\widehat{x'AB}\) et \(\widehat{y'BA}\) ?
  2. Montrer que \((BB')\) est perpendiculaire à \((yy')\).
  3. Quelle est la position relative des droites \((xx')\) et \((yy')\) ?

C’est la réciproque de l’Activité 6. a) \(\widehat{x'AB}\) et \(\widehat{y'BA}\) sont supplémentaires aussi (angles opposés par la sommet aux précédents). b) et c) Si les angles intérieurs de même côté sont supplémentaires, alors \((xx')\parallel(yy')\) (propriété admise, énoncée dans le Retenir) ; la perpendiculaire \((BB')\) à \((xx')\) est alors aussi perpendiculaire à \((yy')\), puisque deux droites parallèles ont les mêmes perpendiculaires.

Activité 8

Observer la figure ci-contre où les angles alternes-internes \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{ACD}\) sont égaux.

  1. Montrer que les angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{ECA}\) sont supplémentaires.
  2. Quelle est la position relative des droites \((AB)\) et \((CD)\) ?
  1. \(E\), \(C\), \(D\) sont alignés, donc \(\widehat{ACD}\) et \(\widehat{ECA}\) sont supplémentaires (angles sur une droite). Or \(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\) (donné), donc \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{ECA}\) sont supplémentaires aussi.
  2. Les angles alternes-internes \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{ACD}\) étant égaux, les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles (propriété réciproque du Retenir).

Activité 9

Observer la figure ci-contre où les angles correspondants \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{ECK}\) sont égaux.

  1. Montrer que les angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{ECA}\) sont supplémentaires.
  2. Quelle est la position relative des droites \((AB)\) et \((CD)\) ?
  1. \(\widehat{ECK}\) et \(\widehat{ECA}\) sont supplémentaires (angles sur la droite \((AK)\)… plus précisément \(\widehat{ACE}\) et \(\widehat{ACK}\) forment un angle plat avec \(K,C,\) la sécante). Comme \(\widehat{BAC}=\widehat{ECK}\) (donné), on retrouve \(\widehat{BAC}+\widehat{ECA}=180°\).
  2. On retombe sur la configuration de l’Activité 8 : \((AB)\parallel(CD)\).

2.3 Angles inscrits et angles au centre

Activité 10

\(A\) et \(B\) sont deux points distincts et \((C)\) est le cercle de diamètre \([AB]\).

  1. Soit \(P\) un point de \((C)\) distinct de \(A\) et \(B\). Montrer que \(APB\) est un triangle rectangle en \(P\).
  2. Soit \(M\) un point intérieur au cercle. Montrer que \(\widehat{AMB}>90°\).
  3. Soit \(N\) un point extérieur au cercle. Montrer que \(\widehat{ANB}<90°\).
  4. Quel est l’ensemble des points \(P\) du plan tels que \(\widehat{APB}=90°\) ?

Faites glisser P tout le long du cercle : l’angle \(\widehat{APB}\) reste-t-il égal à 90° ? Déplacez aussi M et N librement.

  1. \([AB]\) est un diamètre, donc son milieu \(O\) est le centre du cercle : \(OA=OB=OP\) (rayons). Le triangle \(APB\) est donc formé de deux triangles isocèles \(OAP\) et \(OBP\) partageant le sommet \(O\) ; en notant leurs angles à la base \(\alpha\) et \(\beta\), la somme des angles de \(APB\) donne \(2\alpha+2\beta=180°\), donc \(\widehat{APB}=\alpha+\beta=90°\) : \(APB\) est rectangle en \(P\).
  2. Si \(M\) est intérieur au cercle, le segment \([AM)\) prolongé recoupe le cercle en un point \(P\) tel que \(\widehat{APB}=90°\) (résultat 1) ; comme \(M\) est “avant” \(P\) sur ce segment, l’angle \(\widehat{AMB}\) ne peut qu’être plus grand que \(90°\).
  3. Symétriquement, pour \(N\) extérieur, \(\widehat{ANB}<90°\).
  4. D’après 1., 2., 3., l’ensemble cherché est exactement le cercle de diamètre \([AB]\), privé des points \(A\) et \(B\).

Activité 11

Observer la figure ci-contre (cercle de centre \(O\) passant par \(A,B,C,D\)).

  1. Calculer \(\widehat{AOB}+\widehat{COB}\).
  2. Calculer \((2a+2b)\).
  3. Calculer \(\widehat{ABC}\) et comparer à \(\widehat{AOC}\).
  4. Calculer \(\widehat{ADC}\). Que remarque-t-on ?

Faites glisser B et D sur le cercle : les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{ADC}\) changent-ils ?

  1. \(\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=\widehat{AOC}\) (angles adjacents autour de \(O\), \(B\) étant “entre” \(A\) et \(C\) du point de vue de \(O\)).
  2. En notant \(a=\widehat{OBA}\) et \(b=\widehat{OBC}\) (le point \(B\) voit les triangles isocèles \(OAB\) et \(OBC\)), on a directement \(2a+2b=\widehat{AOB}+\widehat{BOC}=\widehat{AOC}\) (triangles isocèles : angle au sommet \(=180°-2\times\)angle à la base, d’où \(\widehat{AOB}=180°-2a\)… en réalité le calcul détaillé donne \(\widehat{ABC}=a+b\) et \(\widehat{AOC}=2a+2b=2\times\widehat{ABC}\)).
  3. \(\widehat{ABC}=a+b=\dfrac{\widehat{AOC}}{2}\) : l’angle inscrit \(\widehat{ABC}\) vaut la moitié de l’angle au centre \(\widehat{AOC}\) qui intercepte le même arc \([AC]\).
  4. \(\widehat{ADC}\) intercepte lui aussi l’arc \([AC]\) (ne contenant ni \(B\) ni \(D\)) : par le même argument, \(\widehat{ADC}=\dfrac{\widehat{AOC}}{2}\) également. On remarque que \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\) : deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.

Activité 12

Soit \(ABC\) un triangle inscrit dans un cercle \((C)\) de centre \(O\). Comparer, dans chacun des cas (1ᵉʳ cas : \(O\) intérieur au triangle ; 2ème cas : \(O\) extérieur), \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{BOC}\).

Faites glisser A tout le long du cercle, y compris sur le petit arc \(BC\) : vous passez ainsi du 1ᵉʳ cas (\(O\) intérieur au triangle) au 2ème cas (\(O\) extérieur). L’angle \(\widehat{BOC}\) reste-t-il toujours le double de \(\widehat{BAC}\) ?

Dans les deux cas, \(\widehat{BOC}=2\times\widehat{BAC}\) : c’est le théorème de l’angle inscrit / angle au centre, déjà établi à l’Activité 11 pour le premier cas. Quand \(O\) est extérieur au triangle (2ème cas, \(A\) sur le petit arc \(BC\)), le même raisonnement s’applique en considérant l’angle réflexe au centre, ou en soustrayant deux angles inscrits obtenus via un point diamétralement opposé à \(A\). Ce résultat, valable dans tous les cas de figure, est LE théorème central du chapitre (voir Retenir) : “un angle inscrit dans un cercle est égal à la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc.”

3 Retenir

NoteAngles égaux et droites parallèles

Deux droites parallèles forment avec une sécante :

  • deux angles intérieurs d’un même côté supplémentaires ;
  • deux angles alternes-internes égaux ;
  • deux angles correspondants égaux.

(Réciproques, chacune admise et illustrée aux Activités 6 à 9 ci-dessus) : si deux droites forment avec une sécante deux angles intérieurs d’un même côté supplémentaires — ou deux angles alternes-internes égaux, ou deux angles correspondants égaux — alors ces deux droites sont parallèles.

NoteAngle inscrit et angle au centre associé
  • Un angle qui a son sommet sur un cercle et dont les côtés recoupent ce cercle est un angle inscrit dans ce cercle. Un angle dont le sommet est le centre d’un cercle est un angle au centre de ce cercle.
  • Si \([BC]\) est un diamètre du cercle circonscrit à \(ABC\), alors ce triangle est rectangle en \(A\) (Activité 10).
  • \(A\) et \(B\) étant deux points distincts, les points \(P\) tels que \(\widehat{APB}=90°\) sont exactement les points du cercle de diamètre \([AB]\), privé de \(A\) et \(B\) (Activité 10).
  • Un angle inscrit dans un cercle est égal à la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc (Activités 11 et 12).
  • Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux (Activité 11).

4 Mobiliser ses compétences

4.1 Angles et figures de base

Situation 1 Soit deux points distincts \(A\) et \(O\). Construire à l’aide du compas seulement le point \(A'\) symétrique du point \(A\) par rapport à \(O\).

Stratégie : tracer \((C)\) de centre \(O\), rayon \(OA\) ; placer \(B\in(C)\) tel que \(AB=OA\) ; placer \(C\in(C)\), distinct de \(A\), tel que \(OB=BC\) ; placer \(A'\in(C)\), distinct de \(B\), tel que \(OC=CA'\) ; expliquer pourquoi \(A'\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\) (indice : \(OA'A\) est un diamètre car \(OABC A'\) construit un hexagone régulier de triangles équilatéraux, donc \(A\), \(O\), \(A'\) sont alignés avec \(OA=OA'\)).

Situation 2 Un polygone est dit régulier s’il est inscrit dans un cercle et si tous ses côtés sont isométriques. Construire un hexagone régulier connaissant son centre \(O\) et un de ses sommets \(A\), en reportant six fois le rayon \(OA\) sur le cercle (le côté d’un hexagone régulier est égal à son rayon, car chaque triangle \(OA_iA_{i+1}\) est équilatéral — angle au centre de \(360°/6=60°\)).

4.2 Angles et droites parallèles

Situation 1 On se propose de découper dans la plaque triangulaire \(ABC\) un triangle de même aire que \(EFG\) et de sommet \(A\), avec \(EF=AD\) et \(FG=DK\) (mêmes notations que le manuel, \(\widehat{}=40°\) commun).

Stratégie : comparer les triangles \(ADK\) et \(EFG\) (cas d’isométrie — un angle égal entre deux côtés égaux) ; en déduire que \((AB)\parallel(KH)\) (angles correspondants égaux) ; conclure que \(ADH\) et \(EFG\) ont même aire en utilisant l’égalité des distances entre droites parallèles.

Situation 2 Plan d’une terrasse : \([EB]\) et \([CF]\) sont des arcs de cercle de centres respectifs \(A\) et \(D\).

  1. Montrer que \((BC)\parallel(AD)\) (angles intérieurs de même côté supplémentaires : \(80°+130°\ne180°\)… utilisez plutôt les angles donnés dans votre figure : \(\widehat{A}=80°\) et l’angle en \(D=50°\) avec l’angle droit marqué, la somme des angles intérieurs d’un même côté de la sécante \((AD)\) vaut \(180°\)).
  2. Calculer l’aire du trapèze \(ABCD\) puis celle des secteurs \(EAB\) et \(CDF\) pour en déduire l’aire totale de la terrasse.

4.3 Utiliser les angles inscrits pour comparer des grandeurs

Situation 1 \([MN]\) et \([PQ]\) sont deux cordes perpendiculaires d’un cercle \((C)\), se coupant en \(I\). \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(I\) dans le triangle \(IMQ\). La droite \((IH)\) coupe \([PN]\) en \(A\).

  1. Montrer que \(\widehat{MIH}=\widehat{MQI}\) (triangles \(QHI\) et \(MIQ\) rectangles respectivement en \(H\) et \(I\), partageant l’angle complémentaire en \(Q\)).
  2. En déduire, avec \(\widehat{MQI}=\widehat{INP}\) (angles inscrits interceptant le même arc), que le triangle \(AIN\) est isocèle.
  3. Montrer que \(A\) est le milieu de \([PN]\) (triangle \(PIN\) rectangle en \(I\), la médiane issue de l’angle droit égale la moitié de l’hypoténuse).

Situation 2 On considère un cercle \((C)\) de centre \(O\) et de rayon 4 cm, et un point \(A\) tel que \(OA=5\) cm. Le cercle \((C')\) de diamètre \([OA]\) coupe \((C)\) en \(T\) et \(T'\).

    1. Montrer que \((AT)\) et \((AT')\) sont les tangentes à \((C)\) issues de \(A\) (angle inscrit dans le demi-cercle \((C')\), donc \(\widehat{OTA}=90°\)).
    2. Montrer que \(AT=AT'\) et calculer \(AT\) (Pythagore : \(AT=\sqrt{OA^2-OT^2}=\sqrt{25-16}=3\) cm).
  2. Montrer que \((OA)\) est la bissectrice de \(\widehat{TOT'}\).
  3. Pour \(M\) sur \((C)\), intérieur à \((C')\), la tangente à \((C)\) en \(M\) coupe \([AT]\) en \(P\) et \([AT']\) en \(P'\) :
    1. Montrer que le périmètre de \(APP'\) est constant et vaut \(2\times AT=6\) cm.
    2. Montrer que l’angle \(\widehat{POP'}\) est constant.

5 S’auto-évaluer

Vrai ou faux Un angle de 3° regardé avec une loupe “grossissant 2 fois” est doublé.

Faux. Une loupe grossit les longueurs apparentes, pas les angles : un angle ne dépend pas de la distance d’observation ni du grossissement optique, il reste de 3°.

Observer Répondre par vrai ou faux, à partir des angles indiqués sur chaque figure du manuel :

  1. \((AB)\parallel(ST)\) ? (trapèze \(ABTS\) avec \(\widehat{S}=131{,}2°\) et un angle de \(48{,}8°\) en bas)
  2. \((MN)\parallel(PQ)\) ? (deux segments sécants avec \(\widehat{M}=72°\) et \(\widehat{Q}=66°\))
  3. \((LH)\parallel(OR)\) ? (triangle avec deux angles de \(41{,}5°\))
  1. \(131{,}2°+48{,}8°=180°\) : les angles intérieurs de même côté sont supplémentaires, donc \((AB)\parallel(ST)\) — Vrai.
  2. \(72°\ne66°\) : les angles ne correspondent à aucune configuration d’angles égaux entre \((MN)\) et \((PQ)\) — Faux a priori (il faudrait vérifier la nature exacte des angles marqués sur la figure du manuel).
  3. Les deux angles marqués valent \(41{,}5°\) chacun : s’ils sont alternes-internes ou correspondants pour les droites \((LH)\) et \((OR)\), alors \((LH)\parallel(OR)\) — Vrai.

Recopier et compléter D’après les figures du manuel :

  1. \(\widehat{POQ} = \ldots\) (cercle, \(\widehat{PRQ}=50°\) inscrit)
  2. \(\widehat{AOC} = \ldots\) (cercle, angle inscrit \(\widehat{ABC}=130°\))
  3. \(\widehat{ZOY} = \ldots\) (cercle, angle inscrit \(\widehat{ZXY}=15°\))
  4. \(\widehat{SMO} = \ldots\) (cercle, \(\widehat{SIO}=60°\), angle donné \(210°\))

Dans chaque cas, l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit qui intercepte le même arc :

  1. \(\widehat{POQ}=2\times50°=100°\).
  2. \(\widehat{AOC}=2\times130°\) ou son supplémentaire \(360°-2\times130°=100°\) selon l’arc intercepté (l’angle \(\widehat{ABC}=130°\) étant obtus, c’est l’arc “de l’autre côté” qui est intercepté : \(\widehat{AOC}=100°\) en général pour ce type de figure).
  3. \(\widehat{ZOY}=2\times15°=30°\).
  4. À partir de \(\widehat{SIO}=60°\) (angle inscrit) : \(\widehat{SMO}\) s’en déduit avec l’angle \(210°\) donné, en utilisant que les angles au centre autour de \(O\) totalisent \(360°\).

(Ces valeurs numériques dépendent de la lecture précise des figures du manuel ; la méthode — angle au centre = 2× angle inscrit — est le point essentiel à retenir.)

6 Exercices et problèmes

6.1 Appliquer

Exercice 1 Calculer les angles désignés par une lettre dans cinq petites figures : triangle \(NOA\) isocèle en \(O\) (\(ON=OA\)) avec \(\widehat{N}=52°\) (trouver \(a\), \(b\)) ; triangle \(TIS\) isocèle en \(I\) (\(IT=IS\)) avec \(\widehat{I}=90°\) (trouver les deux angles \(c\)) ; triangle \(UGK\) rectangle en \(G\) (\(\widehat{G}=90°\)) avec \(\widehat{K}=30°\) et \(DU=DK\) (trouver \(f\), \(g\)) ; deux droites parallèles (même couleur) coupées par deux sécantes formant \(130°\) et \(60°\) (trouver \(i,j,k,m\)) ; triangle d’angles \(2h\), \(6h\), \(h\) (trouver \(h\)).

(Seule la première figure — le triangle \(NOA\) — est reproduite ci-dessous à titre d’exemple ; les quatre autres se traitent avec la même méthode.)

Exercice 2 Dans la figure qui suit, \(\Delta\) est parallèle à \(\Delta'\), \([AD]\) est la bissectrice de \(\widehat{A}\) et \([CD]\) est la bissectrice de \(\widehat{C}\) (angles formés par \(\Delta\), \(\Delta'\) et une sécante en \(A\) et \(C\), avec \(D\) intersection des deux bissectrices). Montrer que \(\widehat{ADC}=90°\).

Exercice 3 Observer la figure suivante où chacun des triangles rectangles \(OAB\), \(OBC\), \(OCD\) est isocèle (sommets \(D,C,B,A\) autour de \(E,O,A\) alignés).

  1. Montrer que \((OC)\perp(OA)\), que \(E,O,A\) sont alignés, et que \((OB)\perp(OD)\).
  2. Calculer \(OB, OC, OD, OE\) lorsque \(OA=1\) cm.

Exercice 4 Figure : \(\widehat{DCA}=\widehat{CAB}=30°\) (diagonale \(AC\) d’un quadrilatère \(ABCD\)). a) Montrer que \(ABCD\) est un rectangle. b) \(ABCD\) est-il un carré ?

Exercice 5 Tracer un triangle équilatéral \(ABC\) tel que \(AB=10\) cm et placer \(M\) sur la bissectrice de l’angle \(\widehat{BAC}\) tel que \(AM=5\) cm. \((AM)\) coupe \([BC]\) en \(H\). a) Vérifier que \(M\in[AH]\). b) Calculer l’aire du triangle \(ABM\).

Exercice 6 Dans la figure qui suit, les points \(A,C,E,G\) sont alignés, avec \(\widehat{BAC}=100°\), \(\widehat{BCA}=40°\), \(\widehat{FEG}=60°\), \(\widehat{FGE}=80°\). Démontrer que les droites \((AB)\) et \((EF)\) sont parallèles.

Ex.1–5 : applications directes des propriétés du Retenir (angle extérieur, isocèle/équilatéral, angles alternes/correspondants, somme des angles d’un triangle) — reportez les valeurs de votre figure dans les formules démontrées aux Activités 1 à 5. Ex.6 : dans le triangle \(ABC\), \(\widehat{ABC}=180°-100°-40°=40°\), qui est l’angle extérieur en \(C\) pour la droite \((AG)\)… plus directement : \(\widehat{BCA}=40°\) et \(\widehat{FEG}=60°\) ne sont pas directement comparables ; c’est en fait l’angle extérieur en \(E\), \(\widehat{FEA}=180°-60°=120°\), qu’il faut comparer à l’angle extérieur en \(C\) correspondant : la démonstration standard compare les angles \(\widehat{BCA}\) (ou son supplémentaire) et \(\widehat{FEG}\) comme angles correspondants pour la sécante \((ACEG)\) — si ces angles sont égaux, les droites \((AB)\) et \((EF)\) sont parallèles (propriété réciproque du Retenir).

6.2 Maîtriser

Exercice 7 \((C)\) et \((C')\) sont deux cercles de centres respectifs \(O\) et \(O'\), tangents extérieurement en \(P\). Une droite passant par \(P\) recoupe \((C)\) en \(A\) et \((C')\) en \(A'\). Montrer que \((OA)\) et \((O'A')\) sont parallèles.

Exercice 8 Tracer un triangle \(ABC\) isocèle en \(A\). Soit \([At)\) la bissectrice de l’angle extérieur à \(\widehat{A}\). Montrer que \((At)\) et \((BC)\) sont parallèles.

Exercice 9 a) Calculer le périmètre d’un cercle circonscrit à un triangle \(EFG\) rectangle en \(E\) dont l’hypoténuse mesure 6 cm. b) Calculer l’aire du disque limité par le cercle circonscrit à un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\) tel que \(BC=5\) cm.

(Le triangle est bien rectangle en \(A\), quelle que soit la position de \(A\) sur le cercle : c’est le résultat de l’Activité 10. Le rayon du cercle circonscrit est donc toujours la moitié de l’hypoténuse \(BC\).)

Exercice 10 Recopier la figure suivante où \((C_1)\) est un cercle de diamètre \([AB]\), \((C_2)\) est un cercle de centre \(B\) qui coupe \((C_1)\) en deux points \(T\) et \(T'\). Montrer que les droites \((AT)\) et \((AT')\) sont les tangentes au cercle \((C_2)\) issues de \(A\).

Exercice 11 Dans la figure qui suit, \(ABCD\) est un parallélogramme, \(E,F,G,H\) sont les pieds des bissectrices des quatre angles. 1. Quelle est la nature du quadrilatère \(EFGH\) ? 2. Quelle est sa nature lorsque \(ABCD\) est un rectangle ? 3. Quelle est la nature de \(ABCD\) lorsque \(E,F,G,H\) sont confondus ?

Exercice 12 Dans la figure ci-dessous, \((C)\) est un cercle de centre \(O\) et \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{MIN}\) sont deux angles inscrits égaux. Montrer que les arcs \([CB]\) et \([MN]\) sont isométriques.

Exercice 13 On considère un triangle équilatéral \(ABC\) et son cercle circonscrit \((C)\). 1. À tout point \(M\) de l’arc \([BC]\) ne contenant pas \(A\), on associe le point \(N\) du segment \([AM]\) tel que \(MN=MC\). Montrer que le triangle \(MNC\) est équilatéral. 2. La droite \((CN)\) recoupe \((C)\) en \(P\). Déterminer la nature du triangle \(APN\) puis celle du quadrilatère \(MNPB\).

Faites glisser M le long du petit arc \(BC\) (celui qui ne contient pas \(A\)).

Exercice 14 \(A,B,C,D\) sont quatre points distincts d’un même cercle \((C)\). 1. Montrer que les angles \(\widehat{DAB}\) et \(\widehat{DCB}\) sont supplémentaires. 2. Montrer que les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{ADC}\) sont supplémentaires.

Exercice 15 Soit un triangle \(ABC\) inscrit dans un cercle \((C)\). On trace les hauteurs \([AA']\) et \([CC']\). Soit \(H\) l’orthocentre de \(ABC\). La hauteur \((AA')\) recoupe \((C)\) en \(D\). Démontrer que la demi-droite \([CB)\) est la bissectrice de l’angle \(\widehat{HCD}\).

Exercice 16 Dans la figure ci-contre, les cordes \([AB]\) et \([CD]\) sont parallèles. a) Comparer les triangles \(ACD\) et \(BCD\). En déduire que \(AC=BD\). b) Montrer que \(\widehat{AOC}=\widehat{BOD}\).

Exercice 17 \(ABCD\) est un carré de côté 6 cm inscrit dans un cercle \((C)\) de centre \(O\). 1. a) Calculer l’aire de la partie colorée (entre le carré et le cercle). b) Tracer la tangente \(\Delta\) au cercle \((C)\) en \(A\). 2. La médiatrice de \([AD]\) coupe \(\Delta\) en \(N\). Calculer l’aire du triangle \(CDN\).

(La tangente \(\Delta\) en \(A\) n’est pas encore tracée automatiquement ici — ajoutez-la vous-même via “Voir / modifier le code” avec la commande Tangent(A,cCirc) pour explorer la question 1.b.)

Exercice 18 Soit \([AB]\) un segment fixe de milieu \(O\). Choisir un point \(M\) n’appartenant pas à \((AB)\) tel que \(OM=OA\). Soit \(K\) le projeté orthogonal de \(M\) sur \((AB)\). a) Exprimer de deux façons l’aire du triangle \(AMB\). b) Quelle doit être la position de \(M\) pour que \(KM\) soit maximale ? c) Déduire la position de \(M\) pour que le produit \(MA\times MB\) soit maximum.

(à venir — ces 12 exercices d’approfondissement s’appuient tous sur les théorèmes du Retenir : angle inscrit/angle au centre pour 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ; parallèles et sécantes pour 7, 8, 11 ; optimisation géométrique pour 18. Une correction détaillée sera ajoutée dans une prochaine passe.)

Avec l’ordinateur À l’aide d’un logiciel :

  • Tracer un cercle \((C)\) de centre \(O\) et marquer deux points \(I\) et \(J\) sur ce cercle. Mesurer \(\widehat{IOJ}\).
  • Placer un point \(S\) à l’intérieur de \((C)\). Mesurer \(\widehat{ISJ}\). A-t-on \(\widehat{IOJ}=2\widehat{ISJ}\) ?
  • Placer un point \(R\) à l’extérieur de \((C)\). Mesurer \(\widehat{IRJ}\). A-t-on \(\widehat{IOJ}=2\widehat{IRJ}\) ?

Faites glisser S (intérieur) et R (extérieur) : vous devriez observer \(\widehat{IOJ}=2\widehat{ISJ}\) tant que \(S\) reste sur le grand arc, mais pas de relation aussi simple pour \(R\) extérieur (la formule \(\widehat{IOJ}=2\widehat{ISJ}\) est spécifique aux angles inscrits, c’est-à-dire aux sommets sur le cercle).

\(\widehat{IOJ}=2\,\widehat{ISJ}\) oui, tant que \(S\) est sur le cercle (angle inscrit / angle au centre, Activités 11-12) — mais \(S\) ici est seulement intérieur, pas sur le cercle : la relation exacte \(\widehat{IOJ}=2\widehat{ISJ}\) ne tient donc pas en général pour un point intérieur quelconque (on a seulement \(\widehat{ISJ}>\widehat{IOJ}/2\) lorsque \(S\) est “proche” du cercle, par continuité avec le cas inscrit). Pour \(R\) extérieur, \(\widehat{IRJ}<\) l’angle inscrit correspondant : la réponse est non, il n’y a pas de relation de double aussi simple.

7 Math culture

7.1 Mesurer la terre avec Ératosthène

Quand le soleil éclaire le fond d’un puits dans la ville de Syène (aujourd’hui Assouan), à Alexandrie un bâton vertical de 1 mètre fait une ombre de 0,125 mètre, ce qui donne \(\hat a=7{,}12°\). La distance de Syène à Alexandrie étant environ 800 km, Ératosthène en déduit la circonférence terrestre puis le rayon de la Terre (les rayons solaires étant supposés parallèles, les angles alternes-internes sont égaux).

L’angle au centre entre Syène et Alexandrie vaut aussi \(\hat a=7{,}12°\) (angles alternes-internes, rayons du soleil parallèles). Une règle de proportionnalité relie cet angle à l’arc de 800 km : \[\text{circonférence} = 800 \times \frac{360°}{7{,}12°} \approx 40\,449 \text{ km}\] \[\text{rayon} = \frac{\text{circonférence}}{2\pi} \approx 6\,438 \text{ km}\] — une valeur remarquablement proche du rayon terrestre réel (environ 6 371 km), obtenue plus de 2 000 ans avant les mesures satellite !

7.2 Note historique

Né à Cyrène, en Libye, vers 275 av. J.-C., Ératosthène était le directeur de la bibliothèque d’Alexandrie (en Égypte) de 235 jusqu’à sa mort en 194 av. J.-C. Il est célèbre pour cette mesure de la Terre et pour le procédé de détermination des nombres premiers appelé « Crible d’Ératosthène ».

7.3 L’étoile du drapeau tunisien

Les sommets de l’étoile du drapeau tunisien sont les 5 sommets d’un pentagone régulier \(ABCDE\). Que vaut l’angle \(\widehat{BAE}\) ? Tracer un pentagone et en déduire une construction de l’étoile.

Un pentagone régulier a des angles au centre de \(360°/5=72°\). L’angle \(\widehat{BAE}\) (angle interne au sommet \(A\)) vaut \(\dfrac{(5-2)\times180°}{5}=108°\). L’étoile à 5 branches s’obtient en traçant les 5 diagonales du pentagone régulier.

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